PAU Física 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

Problemes Suma de notes parcials Responeu a QUATRE dels vuit problemes següents. En el cas que respongueu a més problemes, només es valoraran els quatre primers. Cada problema val 2,5 punts. P1) El març del 2021 es va llançar el primer nanosatèŀlit de la Generalitat de Catalunya a l’espai. Els nanosatèŀlits tenen com a funció millorar les comunicacions, controlar els cabals dels cursos d’aigua i prevenir incendis. També contribueixen a la recerca i realit­ zació de missions espacials més àgils i econòmiques. Aquests nanosatèŀlits acostumen a orbitar a uns 500 km d’altura (distància respecte a la superfície de la Terra). a) Suposant que l’òrbita d’un d’aquests nanosatèŀlits és circular, a partir de la llei de la gravitació universal deduïu-ne l’expressió de la velocitat orbital en funció del radi orbital. Calculeu també la velocitat i el període orbitals d’aquests nanosatèŀlits. [1,25 punts] b) Partint de la llei de la conservació de l’energia mecànica (negligiu la força de fre­ gament), deduïu l’expressió de la velocitat de llançament necessària per a posar en òrbita un satèŀlit en funció del radi orbital. Calculeu la velocitat de llançament neces­ sària per a posar en òrbita el nanosatèŀlit a 500 km d’altura. [1,25 punts] Dades:  G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. MTerra = 5,98 × 1024 kg. RTerra = 6,37 × 103 km.

0,2 p Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força sobre un satèl·lit de massa m que orbita al voltant de la Terra amb un radi orbital r s’expressa com a: 𝐹= 𝐺 𝑚𝑀𝑇 𝑟2 0,2 p I la segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑚𝑎⃗ 0,2 p D’altra banda, considerant que el satèl·lit descriu un moviment circular uniforme al 𝑣2 voltant de la Terra, la seva acceleració centrípeta és: 𝑎= 𝑟 0,25 p Com que sobre el satèl·lit només hi actua la força de la gravetat: = 𝑚𝑣2 𝐺 𝑚𝑀𝑇 𝑟⇒𝑣= √𝐺 𝑀𝑇 𝑟 𝑟2 0,2 p La velocitat orbital del nanosatèl·lit és: 5,98 × 1024 𝑣= √𝐺 𝑀𝑇 𝑟= √6,67 × 10−11 6,37 × 106 + 500 × 103 = 7620 m/s 0,2 p I el període és: = 2𝜋(6,37 × 106 + 500 × 103) 𝑇= 2𝜋𝑟 = 5660 s 𝑣 7620 b) 0,4 p Com que el camp gravitatori és conservatiu, l’energia mecànica del satèl·lit a la superfície de la Terra és igual a l’energia mecànica a l’òrbita. De l’apartat anterior sabem la velocitat orbital: 𝑣= √𝐺 𝑀𝑇 𝑟 0,1 p Per tant, l’energia cinètica per a una òrbita de radi r és: 𝐸𝑐(𝑟) = 1 2 𝑚𝑣2 = 1 2 𝐺 𝑀 […]