PAU Física 2020 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 1

P1) La trajectòria de la Terra al voltant del Sol és una eŀlipse; aquest fet fa que la distàn­ cia des de la Terra al Sol no sigui la mateixa en totes les èpoques de l’any. El periheli, la distància més curta entre la Terra i el Sol, és de 1,471 × 108 km. La Terra passa pel periheli durant els primers dies del mes de gener de cada any. La velocitat de la Terra al periheli és de 30,75 km/s. L’afeli és la posició més allunyada del Sol. Quan la Terra es troba a l’afeli, la seva velocitat orbital és de 28,76 km/s. a) Dibuixeu una òrbita clarament eŀlíptica (no cal que sigui l’òrbita real) on s’indiqui la posició del Sol i la de la Terra un dia d’hivern de l’hemisferi nord. Utilitzant arguments basats en l’energia, justifiqueu per què la velocitat de la Terra és míni­ ma a l’afeli. Quina és la distància de la Terra al Sol a l’afeli? [1,25 punts] b) Quina intensitat de camp gravitatori genera el Sol a la seva superfície? Quin és el pes d’una massa de 10,0 kg a la superfície del Sol? [1,25 punts] Dades:  G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. MTerra = 5,97 × 1024 kg. MSol = 1,99 × 1030 kg. RSol = 6,96 × 105 km.

P1) a) 0,4 p El Sol està en el focus de l’el·lipse i a l’hivern la Terra s’ha de trobar al periheli o a prop d’aquest. 0,4 p L’energia mecànica de la Terra es conserva atès que només actua la força de la gravetat, que és una força conservativa. L’energia mecànica és la suma de les energies cinètica i potencial gravitatòria: 𝐸𝑚(𝑟) = 1 2 𝑀𝑇𝑣2 −𝐺 𝑀𝑇𝑀𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑟 𝑀𝑆𝑀𝑇 Quan r és mínim, llavors el terme 𝐺 és màxim i, per tant, l’energia potencial és mínima 𝑟 al periheli i màxima a l’afeli. Com que l’energia mecànica és constant, si a l’afeli l’energia potencial gravitatòria és màxima, llavors l’energia cinètica serà mínima i també serà mínima la velocitat en aquest punt de la trajectòria. També es pot argumentar que: 𝐸𝑚(𝑟) = 1 2 𝑀𝑇𝑣2 −𝐺 𝑀𝑇𝑀𝑆 ⟹𝑣= √𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡+ 2𝐺 𝑀𝑆 𝑟 𝑟 𝑀𝑆 Com que a l’afeli r és màxim, llavors el terme 2𝐺 𝑟 és mínim i també ho serà la velocitat. Es pot plantejar la solució a partir de la segona llei de Kepler: 0,35 p 𝑟𝑎𝑣𝑎𝑀𝑇= 𝑟𝑝𝑣𝑝𝑀𝑇 𝑣𝑝 𝑣𝑎= 147,1 × 109 30.750 0,1 p 𝑟𝑎= 𝑟𝑝 28.760 […]