PAU Matemàtiques 2000 · Setembre · Sèrie 6 · Exercici 4 (Qüestions)

4. Considereu la circumferència del pla d'equació x 2 + y 2– 6x + 4y + 8 = 0. a) Calculeu-ne el centre i el radi. b) Comproveu que el punt (4, 0) pertany a la circumferència i determineu l'equació de la seva tangent en aquest punt (la recta tangent en un punt d'una circumferència és la que és perpendicular al radi que passa per aquest punt). [2 punts]

4. b)2 = R2, que s’escriu x2 + y2 −2ax −2by + a2 + b2 −R2 = 0. Comparant aquesta expressió amb la que ens donen veiem que 2a = 6, 2b = −4 i que √ a2 + b2 −R2 = 8. Per tant a = 3, b = −2 i R = 5. b) Substituint x = 4 i y = 0 a l’equació que ens han donat veiem que es conver- teix en la identitat 16 −24 + 8 = 0. La direcció del radi que uneix el centre amb el punt (4 , 0) vindrà donat pel vector (4 , 0) −(3 , −2) = (1 , 2). Les rectes perpendiculars a aquesta direcció tenen per equació x + 2y = C. Si imposem que passi pel punt (4 , 0) tindrem C = 4. La recta tangent que ens demanen és, doncs, x + 2y = 4. Compteu 1 punt per apartat.