PAU Matemàtiques 2000 · Setembre · Sèrie 6 · Exercici 1 (Problemes)

1. Considereu la recta r de l'espai que passa pel punt P = (1, 1, 3) i té per vector director rv = (1 –a, a, 1). Sigui π el pla que té per equació 2x + y – z = 1. a) Determineu per a cada valor del paràmetre a la posició relativa de la recta r respecte al pla π (paral·lela, continguda o amb un punt d'intersecció). b) Hi ha alguna de les rectes r que sigui perpendicular al pla π ? c) Calculeu la distància que hi ha entre el punt P i el pla π. [4 punts]

Problemes 1. a) Com que el punt P = (1 , 1 , 3) no compleix l’equació del pla, la recta r no podrà mai estar continguda al pla. Podria ser paral.lela al pla quan⃗v fos perpendicular al vector (2 , 1 , −1) (vector perpendicular al pla). Això passa quan (1 −a , a , 1) · (2 , 1 , −1) = 0 . És a dir, quan a = 1. Per tant, si a = 1 la recta és paral.lela al pla, i si a̸ = 1 la recta talla el pla en un punt. b) r només pot ser perpendicular al pla π si⃗v és proporcional a (2 , 1 , −1). És a dir, si 1 −a = a 1 = 1 −1 . De l’última equació s’obté a = −1. Però per a aquest valor de a no es compleix la primera equació. Conclusió: no hi ha cap valor de a per al qual la recta és perpendicular al pla. c) La distància de P al pla es pot calcular per la fórmula: √ d = |2 × 1 + 1 × 1 −1 × 3 −1| 1 6 √4 + 1 + 1 √ = 6 = . Compteu 1,5 punts per l’apartat (a), 1,5 punts per (b) i 1 punt per (c).