PAU Matemàtiques 2000 · Setembre · Sèrie 6 · Exercici 2 (Problemes)

2. Dos amics, l'Àlex i la Berta, són cadascun al terrat de casa seva, veuen un vaixell i els interessa determinar la distància a què es troba. a) Primer de tot volen calcular la distància que separa el teodolit de l'Àlex del de la Berta. Sigui A el punt on l'Àlex té plantat el teodolit i B el punt on la Berta té situat el seu. L'Àlex mesura exactament al seu terrat una distància AC = 10 m, de manera que el triangle ACB és rectangle a A. Llavors la Berta mesura l'angle a B d'aquest triangle i resulta que és de 5,6o. Calculeu la distància AB. b) Per determinar a quina distància és el vaixell, l'Àlex mesura l'angle que formen a A les visuals A-vaixell i A-B, que resulta que és 75,5o, i la Berta l'angle que formen a B les visuals B-A i B-vaixell, que és de 81,6o. A quina distància és el vaixell de la Berta? Es pot saber, sense fer més càlculs, qui és més a prop del vaixell? Per què? [4 punts]

2. a) Designem per x la distància entre A i B. En el triangle rectangle ABC tindrem: tan 5, 6o = 10/x. Per tant x = 10/ tan5, 6o = 101, 98788952 b) Designem per y la distància del vaixell a la Berta (distància entre V i B). En el triangle BAV l’angle en V val 180 −81, 6 −75, 5 = 22, 9o. El teorema del sinus aplicat al triangle BAV ens diu que y x sin 75, 5o = sin 22, 9o . D’aquí s’obté y = (x sin 75, 5)/ sin22, 9 = 253, 74777 metres. L’angle en B és mes gran que l’angle en A. Per tant AV és més gran que BV . Òbviament no cal que els alumnes facin les operacions amb tants decimals. Comp- teu 1,5 punts per l’apartat (a) i 2,5 punts per l’apartat (b). Dels 2,5 punts de (b), compteu-ne 1,5 pel càlcul de y = BV i 1 pel raonament final.