PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] L’Ajuntament de Canet de Mar ha aconseguit 24 entrades gratuïtes per a un concert d’un grup de rock català, i ha decidit sortejar-les entre els veïns interessats a assistir-hi. Tots els veïns del poble seguidors d’aquest grup s’apunten al sorteig, i només al 16 % els toca una entrada. De la resta de seguidors del grup, sis setenes parts intenten comprar una entrada per la web, on la probabilitat d’aconseguir-ne és del 25 %. 3.1. Quantes persones d’aquest municipi tenen entrada per al concert? Puntuació de l’apartat 3.1 3.2. Si escollim a l’atzar un veí de Canet seguidor d’aquest grup de rock i no té entrada per al concert, quina és la probabilitat que hagués intentat aconseguir-la via web? Puntuació de l’apartat 3.2 3.3. El dia del concert, l’equip de so mesura el nivell de decibels generat pels crits entusiastes del públic durant els 5 minuts de durada de la cançó més famosa del grup; es pot apro- ximar per la funció següent: S(t) = –t3 + 12t2 – 30t + 90, t ∈ [0, 5], on t és el temps en minuts i S(t) els decibels. Quan se superen els 100 decibels es con- sidera que el públic està molt entregat i s’activen automàticament uns efectes lumínics especials. S’activaran en algun moment durant aquests cinc minuts? Si la resposta és afirmativa, calculeu en quin minut s’activen, aproximat a les dècimes. [1 punt] Puntuació de l’apartat 3.3

Exercici 3 3.1. Calculem primer la probabilitat que un seguidor del grup aconsegueixi comprar una entrada al web. Considerem els successos: ES = “Obtenir entrada al sorteig”, W = “Intentar comprar-la al web”, EW = “Aconseguir entrada al web”. A partir de les dades de l’enunciat, tenim que 𝑃(𝐸𝑆) = 0,16, 𝑃(𝑊) = (1 −0,16) · 6/7 = 0,72, 𝑃(𝐸𝑊) = 𝑃(𝑊) · 0,25 = 0,18. Per tant, en total el 16 + 18 = 34 per cent dels seguidors d’aquest grup al municipi aconsegueixen entrada per al concert. Si el 16% dels seguidors corresponen a 24 persones, el 34% correspondran a: 24 𝑥 3 𝑥 34 ⇒ 𝑥= 17 · 3 = 51 persones. 16 = 34 ⇒ 2 = 3.2. Sigui noE el succés “No tenir entrada per al concert”. Ens demanen 𝑃(𝑊|𝑛𝑜𝐸). Per la llei de Bayes, 𝑃(𝑊|𝑛𝑜𝐸) = 𝑃(𝑛𝑜𝐸|𝑊)𝑃(𝑊) . 𝑃(𝑛𝑜𝐸) De l’apartat anterior sabem que la probabilitat de tenir entrada és del 34%, per tant 𝑃(𝑛𝑜𝐸) = 1 −0,34 = 0,66. Sabem també que 𝑃(𝑊) = 0,72 i 𝑃(𝑛𝑜𝐸|𝑊) = 1 −0,25 = 0,75. Per tant, 𝑃(𝑊|𝑛𝑜𝐸) = 0,75 · 0,72 ≈0,82. 0,66 3.3. Tenim la funció polinòmica 𝑆(𝑡 […]