PAU Matemàtiques 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 2

Exercici 2 Puntuació total de l’exercici 2 [2,5 punts en total] Considereu el sistema d’equacions següent: , on k és un paràmetre real. 2.1. Discutiu el sistema en funció del paràmetre k. [1 punt] Puntuació de l’apartat 2.1 2.2. Resoleu el sistema per a tots els valors de k i comproveu que, per a k ≠ 1, la solució no depèn de k. Puntuació de l’apartat 2.2 2.3. Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts] Puntuació de l’apartat 2.3

2.1 Considerem la matriu de coeficients, 𝐴, i la matriu ampliada del sistema, 𝐴∗, 2 𝑘 1 2 𝑘 1 3 ) i 𝐴∗= ( ). 𝐴= ( −1 2 2 −1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 Calculant el determinant de la matriu 𝐴, tenim |𝐴| = 4 −1 + 2𝑘−2 −4 + 𝑘= 3𝑘−3, |𝐴| = 0 ⟺3𝑘−3 = 0 ⟺𝑘= 1. Per tant, si 𝑘≠1, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3 i 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) = 3 i, pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és compatible determinat perquè té 3 incògnites. D’altra banda, si 𝑘= 1, |𝐴| = 0 i, com que | 2 1 2| = 5 ≠0, deduïm que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. −1 Per a estudiar el rang de la matriu 𝐴∗ veiem que 2 1 3 | = 8 −3 + 1 −6 −2 + 2 = 0 | −1 2 1 1 1 2 i, pel mètode de l’orlat, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) = 2. Com que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴∗) = 2 < 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑’𝑖𝑛𝑐ò𝑔𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠, el teorema de Rouché-Frobenius ens assegura que el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. 2.2 En l’apartat anterior hem vist que, per 𝑘= 1, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Per obtenir la seva solució en aquest cas, sumant la segona i tercera equacions, obtenim 𝑦= 1 −𝑧 i, substit […]