PAU Matemàtiques 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] Es vol construir un parc eòlic al Solsonès format per 10 aerogeneradors. L’empresa que els construirà està dissenyant les pales segons l’esquema següent, on x i f(x) estan mesurats en metres (el dibuix no està a escala): S’ha calculat que cadascun dels 10 aerogeneradors tindrà una potència de 100 MW. Degut a diversos factors, cadascun té una probabilitat del 10 % d’estar aturat, independent- ment de la resta d’aerogeneradors. 3.1. Quina és la probabilitat que s’arribi als 1 000 MW de potència total al parc? Puntuació de l’apartat 3.1 3.2. Quina és la probabilitat que la potència total del parc superi els 150 MW? Puntuació de l’apartat 3.2 3.3. Calculeu l’àrea de les pales d’un d’aquests aerogeneradors (part ombrejada al gràfic). Puntuació de l’apartat 3.3

3.1 Anomenarem 𝑋 el nombre d’aerogeneradors en funcionament. Per a arribar als 1 000 MW, han de funcionar necessàriament els 10 aerogeneradors. Com que cadascun funciona, independentment dels altres, amb probabilitat 1 −0,1 = 0,9, la probabilitat que això passi és 𝑃= 0,9 · 0,9 · ··· · 0,9 = 0,910 = 0,3486 … També podem argumentar que el nombre de generadors en funcionament segueix una distribució binomial 𝑋~𝐵(𝑛= 10, 𝑝= 0,9) i arribem al mateix resultat. 3.2 Per tal de superar els 150 MW, el nombre d’aerogeneradors funcionant 𝑋 ha de ser almenys 𝑋≥2. Això és el contrari del fet que en funcioni només un o cap i, per tant, la probabilitat és 𝑃(𝑋≥2) = 1 −𝑃(𝑋= 0) −𝑃(𝑋= 1) = 1 −0,110 −10 · (0,1)9 · (1 −0,1) = 1 −0,0000000091 = 0,9999999909. Per a calcular 𝑃(𝑋= 1) podem, o bé argumentar amb la binomial, o bé raonar directament que hem d’escollir un dels deu generadors i imposar que aquest un funcioni i que els altres nou estiguin aturats. 3.3 Per a calcular l’àrea d’una pala, primer trobem el […]