PAU Matemàtiques 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Considereu la funció . 1.1. Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possi- bles màxims i mínims locals. [1 punt] Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. Calculeu les equacions de totes les asímptotes d’aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. Puntuació de l’apartat 1.2 1.3. Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba y = f(x) en el punt d’abscissa x = 2. Puntuació de l’apartat 1.3

Exercici 1 [2,5 punts en total] 1.1 El domini d’aquesta funció són tots els nombres reals, ja que el denominador no s’anul·la mai. La derivada és 5(𝑥2+1)−5𝑥·2𝑥 −5𝑥2+5 (𝑥2+1)2 . 𝑓’(𝑥) = = (𝑥2+1)2 Els candidats a màxim i mínim d’aquesta funció són els zeros de la derivada: 𝑓’(𝑥) = 0 ⇔−5𝑥2 + 5 = 0 ⇔𝑥= ±1. Per tant, els únics possibles màxims o mínims són aquests dos punts. Ara estudiem la monotonia de la funció, mirant el signe de la derivada: el denominador és sempre positiu i el numerador, −5𝑥2 + 5, és negatiu a (−∞, −1) i a (1, +∞), mentre que és positiu a (−1, 1). Per tant, 𝑓’(𝑥) < 0 i la funció 𝑓 és decreixent a (−∞, −1) i a (1, +∞), mentre que 𝑓′(𝑥) > 0 i la funció 𝑓 és creixent a l’interval (−1,1). Per tant, la funció té un màxim a 𝑥= 1 i un mínim a 𝑥= −1. 1.2 La funció no tindrà asímptotes verticals perquè el denominador mai s’anul·la. Sí que té asímptotes horitzontals, ja que 𝑓(𝑥) →0 quan 𝑥→±∞: 5𝑥 5/𝑥 0 1 + 0 = 0. 𝑥⟶±∞𝑓(𝑥) = lim lim 𝑥2 + 1 = lim 1 + 1/𝑥2 = 𝑥⟶±∞ 𝑥⟶±∞ Alternativame […]