PAU Matemàtiques 2018 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Considereu la matriu . a) Si és la matriu identitat d’ordre 3, calculeu per a quins valors de k la matriu A + kI té inversa. Trobeu, si existeix, la matriu inversa de A – 2I. [1 punt] b) Calculeu la matriu X que satisfà l’equació X · A + AT = 2 · X, en què AT és la matriu transposada de la matriu A. [1 punt]

6. Considereu la matriu ( ) a) Si ( ) és la matriu identitat d’ordre 3, calculeu per a quins valors de la matriu té inversa. Trobeu, si existeix, la matriu inversa de [1 punt] b) Calculeu la matriu que satisfà l’equació , en que és la matriu transposta de la matriu [1 punt] Resolució: La matriu té inversa si i només si | | . a) | ( )( ) ( ) | | | ( )(( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) Per tant, | | √ . En particular, sí que és invertible, ja que correspon al cas . ( ) | | ( ) ( ) b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) ) ( ( ( ) Apartat a) 0,25 punts pel càlcul del determinant. 0,25 punts pels valors de k. 0,25 punts per la justificació que existeix la inversa. 0,25 punts pel càlcul de la matriu inversa. Apartat b) 0,25 punts pel traspàs de termes. 0,25 punts per treure factor comú. 0,25 punts per multiplicar per la inversa. 0,25 punts pel càlcul final.