PAU Matemàtiques 2018 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Siguin el pla d’equació π: x + y – z = 0 i el punt P = (2, 3, 2). a) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [1 punt] b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) dels dos plans paraŀlels a π que estan a una distància √3 del punt P. [1 punt] Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió .

2. Siguin el pla d’equació i el punt ( ). a) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla . [1 punt] b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma ) dels dos plans paral·lels a que estan a distància √ del punt . [1 punt] Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades ( ) al pla d’equació | | amb l’expressió . √ Resolució: a) Per a calcular el simètric de , diguem-ne , respecte del pla primer calcularem la projecció ortogonal del punt sobre el pla , diguem-ne , i després calcularem ⃗⃗⃗⃗⃗ . La recta que passa pel punt i és perpendicular al pla té per vector director el vector normal del pla ( ) i per tant té equació paramètrica ( ) ( ) Calculem la intersecció del pla amb aquesta recta: ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) . Observació: També es pot buscar el punt imposant que sigui un punt que compleixi que el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sigui proporcional al vector normal del pla i que el punt mig del segment ̅̅̅̅̅ pertanyi al pla. b) Si els plans han de ser paral.lels […]