PAU Matemàtiques 2021 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Resoleu les dues qüestions següents: a) Sigui f(x) = 2x3 + mx2 + nx + p una funció que té dos extrems relatius en x = –3 i en x = 1 i que passa pel punt (3, 4). Calculeu els valors de m, n i p. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció en x = –3. [1,25 punts]

[2,5 punts] a) Com que té un extrem relatiu en 𝑥= −3 i en 𝑥= 1, sabem que 𝑓 ’(−3) = 𝑓 ’(1) = 0. 𝑓 ’(𝑥) = 6𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 𝑛. Aleshores tenim que: 𝑓 ’(−3) = 54 − 6𝑚 + 𝑛 = 0 𝑓 ’(1) = 6 + 2𝑚 + 𝑛 = 0. Resolent el sistema, obtenim que 𝑚 = 6 i que 𝑛 = −18. D’aquesta manera sabem que 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 6𝑥2 −18𝑥 + 𝑝. Per a trobar la p, utilitzarem que 𝑓(3) = 4. Per tant, 𝑓(3) = 54 + 54 – 54 + 𝑝 = 4. Aleshores, 𝑝 = −50. b) −2 Calculem 𝑓 ’(𝑥) = (𝑥+1)2 i obtenim que per 𝑥 = −3, 𝑓 ’(−3) = −2/4 = −1/2 que serà el pendent de la recta tangent. Ara busquem el punt per on passarà que serà (−3, 𝑓 (−3)) = (−3, −2). La recta tangent serà 𝑦+ 2 = −1/2 (𝑥+ 3). L’equació serà 𝑦 = −𝑥/2 – 7/2 a) 0,25 punts per la funció derivada. 0,25 punts pel plantejament del sistema. 0,25 punts pel càlcul de m. 0,25 punts pel càlcul de n. 0,25 punts pel càlcul de p. b) 0,25 punts per la funció derivada. 0,25 punts pel pendent de la recta tangent. 0,5 punts per les coordenades del punt de tangència (abscissa i ordenada) 0,25 punts per l […]