PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 2

Exercici 2 Puntuació total de l’exercici 2 [2,5 punts en total] A l’Institut La Closa s’ha organitzat un viatge a Roma per a l’alumnat de segon de batxillerat, però no tots els alumnes hi han volgut anar. Alguns alumnes han organitzat, pel seu compte, un viatge alternatiu a Londres, mentre que d’altres han decidit no viatjar enlloc. Sabem que a segon de batxillerat hi ha un total de 84 alumnes i que el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc és el triple del nombre d’alumnes que han anat a Londres. 2.1. Plantegeu i estudieu el sistema d’equacions corresponent. Es pot determinar el nombre d’alumnes que han anat a cada viatge i el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 2.1 2.2. Resoleu el sistema anterior en funció del nombre d’alumnes que han anat a Londres. Deduïu que el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc és un múltiple de 3 i que el nombre d’alumnes que han anat a Roma és un múltiple de 4. [0,75 punts] Puntuació de l’apartat 2.2 2.3. Disposem ara d’una nova informació: si 4 alumnes dels que no han marxat enlloc s’haguessin afegit al viatge a Roma, aleshores el nombre d’alumnes que hauria anat a Roma hauria estat el doble del nombre d’alumnes que han anat a Londres i dels que no haurien marxat enlloc conjuntament. Es pot determinar ara quants alumnes han anat a cada viatge i quants no han marxat enlloc? Justifiqueu la resposta i, si és possible, trobeu aquestes quantitats. [1 punt] Puntuació de l’apartat 2.3

Exercici 2 a) Considerem les variables 𝑥, 𝑦 i 𝑧, que corresponen al nombre d’alumnes que han anat a Roma, que han anat a Londres i que no han marxat enlloc, respectivament. Obtenim el següent sistema d’equacions: {𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 84 3𝑦−𝑧= 0 Apliquem el mètode de Gauss prenent les variables en l’ordre 𝑥, 𝑦 i 𝑧 i obtenim la matriu: (1 1 −1|84 0 ) 0 3 Clarament, es tracta d’un sistema compatible indeterminat, ja que tenim dues equacions i tres incògnites. Per tant, no és possible determinar quants alumnes han anat a cada viatge i quants no han marxat. b) Resolem el sistema anterior fent servir com a paràmetre la variable 𝑦, obtenim 𝑧= 3𝑦 i 𝑥= 84 −𝑦−𝑧= 84 −4𝑦= 4(21 −𝑦). Veiem clarament que, efectivament, el nombre d’alumnes que no han marxat enlloc, 𝑧, és múltiple de 3 i que el nombre d’alumnes que han anat a Roma, 𝑥, és múltiple de 4. c) Ara afegim la informació nova. El sistema que obtenim és: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 84 { 3𝑦−𝑧= 0 𝑥+ 4 = 2(𝑦+ 𝑧−4) Que és equivalent a: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 84 3𝑦−𝑧= 0 { 𝑥−2𝑦−2𝑧= −12 Si apli […]