PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] En una assignatura d’un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d’aprovar l’assig- natura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs. Fórmules per a resoldre l’exercici: • Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ 2 coneguda): — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ 2 desconeguda): 3.1. Si escollim un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que aprovi l’assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l’assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs? Puntuació de l’apartat 3.1 [1,25 punts] 3.2. El professor vol estimar la nova proporció d’estudiants que aproven l’assignatura després d’introduir un nou mètode d’ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de n = 80 estudiants i observa que 55 d’ells han aprovat. Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció p d’aprovats amb el nou mètode. L’interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d’aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta. [1,25 punts] Puntuació de l’apartat 3.2

Exercici 3 a) Considerem els esdeveniments: 𝑃1 = l’estudiant és de primer any 𝑃2 = l’estudiant és de segon any 𝐴= l’estudiant aprova l’assignatura A partir de l’enunciat, sabem les probabilitats següents: 𝑃(𝑃1) = 0,70, 𝑃(𝑃2) = 1 −0,70 = 0,30 𝑃(𝐴|𝑃1) = 0,60, 𝑃(𝐴|𝑃2) = 0,85 Per a calcular la probabilitat que un estudiant escollit a l’atzar aprovi, utilitzem el teorema de les probabilitats totals: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴∩𝑃1) + 𝑃(𝐴∩𝑃2) = 𝑃(𝐴|𝑃1)𝑃(𝑃1) + 𝑃(𝐴|𝑃2)𝑃(𝑃2) = (0,60 × 0,70) + (0,85 × 0,30) = 0,42 + 0,255 = 0,675 Per tant, la probabilitat que un estudiant escollit a l’atzar aprovi l’assignatura és de 0,675. També ho podem plantejar mitjançant un diagrama d’arbre: 0,6 Aprova Primer curs 0,7 0,4 No aprova 0,85 0,3 Aprova Segon curs 0,15 No aprova Ara hem de calcular quina és la probabilitat que un estudiant sigui de primer curs, si sabem que ha aprovat l’assignatura. Utilitzarem el teorema de Bayes: 𝑃(𝑃1|𝐴) = 𝑃(𝐴|𝑃1)𝑃(𝑃1) = 0,60 × 0,70 = 0,42 0,675 = 28 45 ≈0,6222 𝑃(𝐴) 0,675 Per tant, la probabilit […]