PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda p (en euros) i la quantitat demanada setmanal d(p) (en uni- tats) és donada per la funció d(p) = 500 – 10p – p2, 0 < p < 15. Es defineix també l’ingrés setmanal de l’empresa com a I(p) = p · d(p). 1.1. Determineu el preu p que maximitza l’ingrés setmanal I(p). Per a aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l’ingrés màxim. [1,5 punts] Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. El concepte de l’elasticitat de la demanda respecte al preu mesura, com el seu nom indica, la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu, i s’utilitza per a analitzar com responen els consumidors a les variacions de preus. Per a funcions derivables, l’elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l’expressió , en què d′(p) denota la derivada de la funció d(p). Calculeu l’expressió de l’elasticitat de la demanda respecte al preu E(p) i deter- mineu-ne el valor per a un preu de 5 € i per a un preu de 10 €. [1 punt] Puntuació de l’apartat 1.2

Exercici 1 a) Comencem calculant l’ingrés setmanal en funció del preu. 𝐼(𝑝) = 𝑝⋅𝑑(𝑝 ) = 𝑝 (500 − 10𝑝 − 𝑝2) = 500𝑝 −10𝑝2 −𝑝3, per a valors de 𝑝 tals que 0 < 𝑝< 15. Per a trobar el màxim, hem de calcular la derivada d’aquesta funció 𝐼’(𝑝) = 500 −20𝑝 −3𝑝2. L’igualem a zero, 𝐼’(𝑝) = 0, 500 −20𝑝 −3𝑝2 = 0. I resolem l’equació de segon grau 𝑝= 20 ± √(−20)2 −4(−3)(500) = 20 ± √6400 = 20 ± 80 . 2(−3) 2(−3) −6 Trobem dues solucions, − 3 i 10. En el context del problema, només té sentit la solució positiva 𝑝= 10 €. Com que la derivada és contínua, per a comprovar que efectivament es tracta d’un màxim, estudiem el signe de la derivada abans i després d’aquest valor: 𝐼′(9) = 77 𝑖 𝐼′(11) = −83. Observem, per tant, que la funció és creixent per a valors inferiors a 𝑝= 10 i és decreixent per a valors superiors. Per tant, a 𝑝= 10 hi trobem un màxim. La demanda quan 𝑝= 10 és 𝑑(10) = 500 − 10 · 10 − 102 = 300 unitats. I l’ingrés setmanal amb aquest preu serà 𝐼(10) = 10 · 300 = 3 000 €. Hem obtingut, per […]