PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Després d’un seguit de pluges torrencials s’ha fet un estudi de la capacitat d’aigua emmagatzemada a tres embassaments: el de Darnius Boadella, el de Sau i el de la Baells. Sabem que l’aigua emmagatzemada als tres embassaments és de 112 hm3 i que el de la Baells conté la mateixa quantitat que el de Sau i el de Darnius Boadella junts. 1.1. Amb aquesta informació, podem saber quanta aigua conté cada embassament? Raoneu la resposta. Quants hectòmetres cúbics d’aigua conté l’embassament de la Baells? Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. Si, a més a més, sabem que el 10 % de l’aigua que conté l’embassament de Darnius Boadella més el 20 % de la que conté l’embassament de Sau més el 30 % de la que hi ha al de la Baells sumen 27,2 hm3, quina quantitat d’aigua conté cada embassament? Puntuació de l’apartat 1.2

1. 1.1. Anomenarem 𝑥, 𝑦 i 𝑧 la quantitat d’aigua emmagatzemada als embassaments de Boadella, Sau i la Baells, respectivament. Sabem que entre els tres hi ha emmagatzemats 112 ℎ𝑚3 d'aigua, per tant 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 112. D’altra banda, l’embassament de la Baells conté la mateixa quantitat que els embassaments de Sau i Boadella, per tant, 𝑧= 𝑥+ 𝑦. Aplicant el mètode de reducció de Gauss al sistema de dues equacions amb tres incògnites obtenim: ( 1 1 1 1|112 0 ) →(1 1 1 2|112 112) ⇒2𝑧= 112 ⇒𝑧= 56. −1 −1 0 0 Observem que el sistema plantejat és compatible indeterminat per haver-hi més incògnites que equacions. Per tant no podem conèixer l’aigua embassada a cada embassaments. Però sí que sabem que la quantitat d’aigua embassada a la Baells és de 56 ℎ𝑚3. 1.2 Amb la informació addicional obtenim la següent equació addicional 0,1𝑥+ 0,2𝑦+ 0,3𝑧= 27,2 multiplicant l’equació per 10 obtenim 𝑥+ 2𝑦+ 3𝑧= 272. Tenim un sistema de tres equacions i tres incògnites que podem resoldre 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 112 𝑥+ 𝑦= 112 −56 𝑥+ […]