PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 2

Exercici 2 Puntuació total de l’exercici 2 [2,5 punts en total] Al campus d’una universitat, el 45 % de l’alumnat hi arriba en tren, el 35 % en autobús i la resta utilitzant mitjans propis. Dels usuaris del tren, el 70 % usa la T-jove, mentre que el 30 % restant fa servir altres tipus de bitllets. Dels usuaris de l’autobús, el 60 % utilitza la T-jove i el 40 % usa altres tipus de bitllets. Dels que arriben al campus per mitjans propis, cap no fa servir la T-jove. Fórmules per a resoldre l’exercici: • Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): 2.1. Si escollim un alumne a l’atzar, quina és la probabilitat que faci servir la T-jove per a arribar al campus? Si sabem que un alumne usa la T-jove per a arribar-hi, quina és la probabilitat que ho faci en tren? Puntuació de l’apartat 2.1 2.2. Volem fer un estudi per a saber quant temps tarda l’alumnat a arribar al campus de la universitat des que surt per la porta de casa. Per això vam demanar a una mostra de 300 estudiants que calculessin aquesta dada un dia determinat. Vam obtenir que aquests 300 estudiants de mitjana havien tardat 53 minuts a arribar al campus, i que la desviació típica era de 8 minuts. Trobeu un interval de confiança del 95 % per al temps que tarden els alumnes a arri- bar al campus. Puntuació de l’apartat 2.2

2. 2.1. Considerem els esdeveniments 𝐽= l’alumne utilitza la T-jove per arribar al campus. 𝑇= l’alumne accedeix al campus en tren. 𝐵= l’alumne accedeix al campus en bus. 𝑀=l’alumne accedeix al campus per mitjans propis. A partir de les dades de l’enunciat sabem que 𝑃(𝑇) = 0,45, 𝑃(𝐵) = 0,35 i 𝑃(𝑀) = 0,2. Sabem també que 𝑃(𝐽|𝑇) = 0,7, 𝑃(𝐽|𝐵) = 0,6 i 𝑃(𝐽|𝑀) = 0. Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals, 𝑃(𝐽) = P(J ∩T) + P(J ∩B) + P(J ∩M) = P(T) · P(J|T) + P(B) · P(J|B) + P(M) · P(J|M) = 0,45 · 0,7 + 0,35 · 0,6 + 0,2 · 0 = 0,525. També el podem resoldre mitjançant un diagrama d’arbre: 0,7 T-jove Tren 0,45 0,3 No T-jove 0,6 T-jove 0,35 Bus 0,4 No T-jove 0,2 0 T-jove Mitjans propis 1 No T-jove Així doncs, la probabilitat que arribi al campus utilitzant la T-jove és de 0,525. Ara ens demanen que calculem la probabilitat que arribi en tren si sabem que utilitza la T-jove. Per tant, 𝑃(𝑇)·𝑃(𝐽|𝑇) 𝑃(𝑇∩𝐽) 0,45·0,7 3 5 = 0,6. 𝑃(𝑇|𝐽) = 𝑃(𝐽) = = 0,525 = 𝑃(𝐽) Si sabem que utilitza la T-jov […]