PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Juny · Sèrie 5 (incidències) · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] En una localitat costanera han obert un nou local d’oci nocturn amb diverses pistes de ball i zones de descans. Per a accedir-hi, cal comprar una entrada que inclou una consumi- ció. Després d’unes quantes setmanes, els propietaris s’han adonat que si el preu de l’entrada és de 15 €, l’afluència és de 180 clients. També s’han adonat que la relació entre el preu de l’entrada i el nombre de clients és lineal, de manera que per cada euro de més en el preu de l’entrada perden 20 clients. L’aforament del local és de 320 persones. 3.1. Comproveu que el nombre de persones que entren al local en funció del preu és donat per la funció f(x) = 480 – 20x. A partir de quin preu cal vendre l’entrada per a aconseguir omplir el local? A quin preu no hi anirà ningú? Puntuació de l’apartat 3.1 3.2. Trobeu una funció que determini els ingressos obtinguts amb les entrades en funció del preu de l’entrada. Quins són els ingressos quan el preu de l’entrada és de 15 €? I quan és de 18 €? Puntuació de l’apartat 3.2 3.3. A quin preu cal posar l’entrada per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins són aquests ingressos? Puntuació de l’apartat 3.3 [1 punt]

3.1. Denotem per 𝑥 el preu de l’entrada i per 𝑓(𝑥) la funció que dóna el nombre de persones que accedeixen al local. Sabem que 𝑓(𝑥) és una funció lineal de pendent -20 i que passa pel punt (15, 180). D’això deduïm que 𝑓(𝑥) −180 = −20(𝑥−15), és a dir que, 𝑓(𝑥) = 480 −20𝑥. Per saber a quin preu s’omple tot l’aforament de la sala cal resoldre 𝑓(𝑥) = 320 i s’obté 𝑥= 8. És a dir, si baixen el preu de l’entrada a 8 euros hi assistiran 320 persones. Per saber ara a quin preu no ve ningú al local resolem 𝑓(𝑥) = 0 i obtenim 𝑥= 24 euros. 3.2. Els ingressos s’obtenen multiplicant el nombres de persones que assisteixen a la sala pel preu de l’entrada 𝐼(𝑥) = (480 −20𝑥) · 𝑥= −20 𝑥2 + 480 𝑥. Si el preu és de 15 euros s’obtenen uns ingressos de 𝐼(15) = 2700 euros i per a 18 euros de 𝐼(18) = 2160 euros. 3.3. Ara hem de trobar el màxim de 𝐼(𝑥), que és un polinomi i per tant una funció contínua i derivable a tots els reals. Dins del context del problema té sentit considerar el domini [8,24]. Derivant obt […]