PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

Exercici 3 Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg. Fórmules per a resoldre l’exercici: • Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2 coneguda): — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2 desconeguda): a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg. [1 punt] b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l’atzar: 569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571. Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts]

3. a) Anomenem 𝑋 la variable “pes de la vaca”. Ens demanen que calculem la 𝑃(531 ≤𝑋≤629). Sabem que 𝑋 segueix una distribució normal de mitjana µ = 𝑋−580 580 i desviació típica 𝜎= 25. Per tant, 𝑍= 25 segueix una distribució normal (0,1). Aleshores, 𝑃(531 ≤𝑋≤629) = 𝑃(531 −580 ≤𝑋−580 ≤629 −580 ) 25 25 25 = 𝑃(−1,96 ≤𝑍≤1,96) = 0,95. Per tant, la probabilitat que el pes de la vaca estigui entre aquests dos valors és de 0,95. b) Tenim una mostra de mida 𝑛= 10. Calculem l’estimació puntual de la mitjana a partir de la mostra i obtenim que 𝑥̅ = 581,4 D’altra banda, sabem que la desviació típica és 𝜎= 25. L’interval de confiança per a la mitjana d’una variable normal amb un nivell de confiança 𝛾𝜖(0,1), quan la variància 𝜎2 és coneguda, s’obté a partir de la fórmula 𝜎 𝜎 √𝑛 ], [𝑥̅ −𝑧𝛾 √𝑛, 𝑥̅ + 𝑧𝛾 en què, si 𝑍 segueix una distribució normal (0,1), 𝑃(−𝑧𝛾≤𝑍≤𝑧𝛾) = 𝛾. Per tant, tenim que els extrems de l’interval són √𝑛= 581,4 −1,96 25 𝜎 = 565,9048 𝑥̅ −𝑧𝛾 √10 i √𝑛= 581,4 + 1,96 25 𝜎 = 596,8952. 𝑥̅ + 𝑧 […]