PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 2

2. En Martí explica a en Marcel que l’altre dia, quan va agafar l’autocar per anar de Barcelona a Tarragona, l’autocar es va espatllar just a la meitat del trajecte. Des d’aquest punt va anar caminant fins a la població més propera, de manera que va fer a peu una vintena part del total del trajecte. Allà va agafar un taxi fins a Tarragona, i diu que va fer 5 quilòmetres més en autocar que en taxi. a) Plantegeu i resoleu un sistema d’equacions per a calcular quants quilòmetres va fer en Martí en autocar, a peu i en taxi. [1,75 punts] b) Si l’autocar anava a 100 km/h, en Martí va caminar a 5 km/h i el taxi anava a 90 km/h, quant temps va tardar a fer tot el trajecte? [0,75 punts]

a) Anomenem 𝑥, 𝑦 i 𝑧 la quantitat de quilòmetres recorreguts en autocar, a peu i en taxi, respectivament. L’enunciat planteja tres condicions que es tradueixen en les equacions següents: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧 𝑥 = 𝑥−𝑦−𝑧= 0 𝑥+ 𝑦+ 𝑧 → { 𝑥−19𝑦+ 𝑧= 0 𝑦 = { 𝑥−𝑧= 5 𝑥= 𝑧+ 5 a) Resolent pel mètode de Gauss: 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 ) ( | ) ~ ( | ) ~ ( | 1 −19 1 0 0 18 −2 0 0 1 0 5 1 0 −1 5 0 1 0 5 0 0 1 45 Per tant, obtenim 𝑧= 45, 𝑦= 5 i 𝑥= 50. Així doncs, va fer 50 km en autocar, 5 km a peu i 45 km en taxi. b) Sabem que l’autocar circulava a 100 km/h, en Martí caminava a 5 km/h i el taxi anava a 90 km/h. Per tant, per saber el temps total que va trigar hem de calcular: 1 1 1 1 1 50 · 100 + 5 · 5 + 45 · 90 = 2 + 1 + 2 = 2 hores. En total, va trigar dues hores a completar el trajecte. Plantejament: 0,5 punts. Càlcul: 0,25 punts.