PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Un inversor s’adona que en el moment actual les seves accions tenen unes pèrdues de 2.000 €. El seu assessor financer té una previsió del valor de les accions per als propers 30 dies. Li diu que el valor de les accions ja ha començat a augmentar i que d’aquí a pocs dies deixarà de tenir pèrdues. Segons les previsions, durant els propers 10 dies el valor de les accions creixerà; del dia 10 al dia 20 els beneficis disminuiran, i a partir d’aquest dia els beneficis tornaran a créixer. L’assessor també diu a l’inversor que la previsió dels x ∈ [0, 30]. beneficis per als propers 30 dies té com a model la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + c, en què a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c. [1,5 punts] b) Si l’inversor vol vendre les seves accions durant aquests 30 dies, quin és el dia en el qual obtindrà més beneficis de la venda? Quins beneficis obtindrà? [1 punt]

a) Segons l’enunciat, la funció 𝑓(𝑥) verifica que 𝑓(0) = −2.000, 𝑓 ’(10) = 0 i 𝑓 ’(20) = 0. D’altra banda, 𝑓’ (𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑏. Per tant, les equacions que s’han de verificar són: 𝑓(0) = −2.000 ⇒ 𝑐 = −2.000 } 𝑓 ’(10) = 0 ⇒ 300 + 20𝑎+ 𝑏 = 0 𝑓 ’(20) = 0 ⇒ 1.200 + 40𝑎 + 𝑏 = 0 Així, tenim que: 300 + 20 𝑎 = 1.200 + 40 𝑎 ⇒ −900 = 20 𝑎 ⇒ 𝑎 = − 45 I, també, que: 𝑏 = − 300 – 20 · (−45) = 600. b) A l’apartat anterior hem obtingut que la funció que preveu els beneficis que s’obtindran és 𝑓 (𝑥) = 𝑥3– 45𝑥2 + 600𝑥 – 2.000. El millor dia per vendre les accions serà el valor on s’assoleix el màxim absolut d’aquesta funció definida en l’interval (0, 30). Aquest valor s’assolirà o bé quan x = 10 (màxim relatiu) o bé en els extrems de l’interval de definició. Observem que: 𝑓(10) = 500 € 𝑓(0) = −2.000 € 𝑓(30) = 2.500 € Per tant, el millor dia per vendre les accions serà el trentè dia i obtindrà uns beneficis de 2.500 euros. Obtenció del màxim absolut de manera justificada: 0,75 punts. Obtenció dels bene […]