PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Considereu les matrius i , en què a és un paràmetre real. a) Calculeu per a quin valor de a les dues matrius commuten, és a dir, per a quin valor de a es compleix que A · B = B · A. Comproveu que per a aquest valor de a se satisfà que A · B = 2 · I, en què I és la matriu identitat d’ordre dos. [1,25 punts] b) Per al valor de a trobat a l’apartat anterior, calculeu les matrius inverses de les matrius A i B. Podeu aplicar la relació A · B = 2 · I. [1,25 punts]

a) Comencem calculant els productes de les dues matrius: 𝐴· 𝐵= (1 −1 2 ) · (2 𝑎) = (2 1 1 −𝑎 2𝑎) 0 0 0 𝐵· 𝐴= (2 𝑎) · (1 1 −1 2 ) = (2 0 2𝑎) 0 0 0 Observem que, perquè les dues matrius siguin iguals, cal que 1 −𝑎= 0, és a dir, que 𝑎= 1. Quan 𝑎= 1, observem que: 𝐴· 𝐵= 𝐵·A= (2 0 2) = 2 · 𝐼 b) Sabem que es compleix la igualtat 𝐴· 𝐵= 2 · 𝐼. Si multipliquem per ½ als dos costats de la igualtat, tenim que: 2 · 𝐴· 𝐵= 1 2 · 2 · 𝐼= 𝐼 Així doncs, d’una banda, tenim que ( 2 · 𝐴) · 𝐵= 𝐼, i per tant: 1 −1 𝐵−1 = 1 ). 2 · 𝐴 = ( 2 2 0 1 D’altra banda, tenim també que: 𝐴· 1 2 · 𝐵= 𝐴· (1 2 · 𝐵) = 𝐼 Així que: 𝐴−1 = 1 ). 2 · 𝐵 = ( 0,5 punts. b) Si han calculat una de les dues matrius inverses: 0,75 punts; si les han calculat totes dues: 1,25 punts.