PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Una empresa distribueix dos tipus de paquets a les farmàcies (A i B). El paquet de tipus A conté els productes següents: 5 termòmetres digitals per infrarojos, 30 mascaretes i 10 tests ràpids d’antígens. El paquet de tipus B conté 1 termòmetre digital per infrarojos, 15 mascaretes i 20 tests ràpids d’antígens. El preu del paquet de tipus A és de 550 € i el del paquet de tipus B és de 200 €. El preu de cada producte és el mateix en els dos tipus de paquets. a) Amb les dades de l’enunciat, és possible trobar el preu d’un termòmetre, el d’una mascareta i el d’un test d’antígens? Justifiqueu la resposta plantejant i classificant un sistema d’equacions. Resoleu el sistema deixant la solució en funció del preu del test d’antígens. [1,75 punts] b) Si un test d’antígens costa 4 €, quin serà el preu d’una mascareta? I el d’un termòme- tre? [0,75 punts]

a) Denotem per 𝑥 el preu d’un termòmetre, per 𝑦 el preu d’una mascareta i per 𝑧 el preu d’un test d’antígens. Obtenim el següent sistema d’equacions: {5𝑥+ 30𝑦+ 10𝑧= 550 𝑥+ 15𝑦+ 20𝑧= 200 Aplicant el mètode de Gauss obtenim (5 30 10 20|550 200) ~ (1 6 20|110 2 200) ~ (1 6 18|110 2 90 ) ~ (1 6 2 2|110 10 ) 1 15 1 15 0 9 0 1 Observem que hi ha dues files amb algun element diferent de zero, per tant el rang de la matriu del sistema és 2 i el rang de la matriu ampliada també és 2. Com que el rang de la matriu és 2, el de l’ampliada també és 2 i hi ha 3 incògnites, el sistema és compatible indeterminat, és a dir, té infinites solucions. Per tant, no és possible donar un únic valor al preu del termòmetre, de la mascareta i del test. Hem arribat a les equacions: {𝑥+ 6𝑦+ 2𝑧= 110 𝑦+ 2𝑧= 10 Si aïllem 𝑦 de la segona equació obtenim: 𝑦= 10 −2𝑧 I substituint a la primera equació 𝑥+ 6(10 −2𝑧) + 2𝑧= 110 És a dir, 𝑥= 50 + 10𝑧 Per tant les infinites solucions es poden expressar, en funció del preu del te […]