PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Considereu les matrius i , en què a i b són dos paràmetres reals. a) Trobeu els valors dels paràmetres a i b per als quals es compleix que A2 – 2A = B. [1,25 punts] b) Si a = 1 i b = 1, resoleu l’equació matricial 2A = A · X + B. [1,25 punts]

a) Comencem calculant 𝐴2: 𝑎) = (𝑎2 𝐴2 = (𝑎 𝑎) (𝑎 𝑏 𝑏 2𝑎𝑏 𝑎2 ) 0 0 0 Per tant, 𝑎) = (𝑎2 −2𝑎 𝐴2 −2 𝐴 = (𝑎2 𝑎2 ) - 2(𝑎 𝑏 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏−2𝑏 𝑎2 −2𝑎) . 0 0 Finalment, aplicant que 𝐴2 −2 𝐴= 𝐵 tenim que (𝑎2 −2𝑎 𝑎2 −2𝑎) = (0 1 2𝑎𝑏−2𝑏 0) Per tant, s’ha de satisfer que 𝑎2 −2𝑎= 0 2𝑎𝑏−2𝑏= 1} La primera equació ens dona 𝑎(𝑎 – 2) = 0 i, per tant, tenim dues possibles solucions, o bé 𝑎= 0 o bé 𝑎= 2. Si 𝑎 = 0, la segona equació ens queda − 1 2 → 𝐴 = (0 − 1 − 2𝑏 = 1 → 𝑏 = ) 0 0 Mentre que si 𝑎 = 2, tenim 2 → 𝐴 = (2 2𝑏 = 1 → 𝑏 = ). 0 2 b) Ara tenim que 𝐴 = (1 1 1). Comencem aïllant 𝑋 en l’equació 2𝐴 = 𝐴𝑋 + 𝐵 → 𝐴𝑋= 2𝐴 – 𝐵 → 𝐴−1𝐴𝑋= 𝐴−1(2𝐴 – 𝐵) →𝑋= 2𝐼−𝐴−1𝐵 en què 𝐼 denota la matriu identitat d’ordre 2. Calculem 𝐴−1: (1 1 1|1 0 1) ~ (1 0 1|1 −1 1 ) 0 0 0 0 Per tant, 𝐴−1 = (1 −1 1 ). I finalment, 𝑋= 2𝐼−𝐴−1𝐵= 2 (1 0 1) −(1 −1 1 ) (0 1 0) = (2 0 2) −(0 1 0) = (2 −1 2 ) 0 0 0 0 0 0 a) Càlcul de A^2: 0,25 p. Obtenció de les equacions: 0,5 p. Obtenció dels valors de a i b: 0,25 p. cada parell. b) Aïllar la matriu X: 0,5 […]