PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

4. Un grup de biòlegs està estudiant un cultiu de bacteris. La població d’aquests bacteris (en centenars) és donada per la funció , en què a i b són constants positives reals i t ≥ 0 és el temps transcorregut en minuts. Sabem que a l’instant inicial de l’estudi la població de bacteris era de 6 centenars i que el valor màxim de població s’ha assolit al cap de 2 minuts d’haver iniciat l’estudi. a) Trobeu els valors de les constants a i b. [1,25 punts] b) Calculeu la població màxima de bacteris i estudieu-ne el comportament a llarg termi­ ni, és a dir, cap a quin valor s’estabilitza el nombre de bacteris. [1,25 punts]

A l’instant inicial la població és de 6 centenars, per tant, 𝑃(0) = 6: 𝑎+ 12 · 0 02 + 𝑏= 6 Per tant, obtenim que 𝑎= 6. D’altra banda, sabem que el màxim de la població s’assoleix a l’instant 𝑡= 2, per tant, 𝑃′(2) = 0. Calculem la derivada: 𝑃′(𝑡) = 12 · (𝑡2 + 𝑏) −12𝑡· 2𝑡 = −12𝑡2 + 12𝑏 (𝑡2 + 𝑏)2 (𝑡2 + 𝑏)2 Imposem que 𝑃′(2) = 0: −12 · 22 + 12𝑏 = 0 (22 + 𝑏)2 D’aquí obtenim que −48 + 12𝑏= 0 i, per tant, 𝑏= 4. Així, per tal que es compleixin les condicions del problema cal que 𝑎= 6 i 𝑏= 4. D’altra banda, observem que amb aquests valors dels paràmetres efectivament en 𝑡= 2 hi ha un màxim perquè la derivada és positiva en l’interval [0,2) i negativa per a 𝑡> 2. b) [1,25 punts] La població obté el seu màxim a l’instant 𝑡= 2: 𝑃(2) = 6 + 12 · 2 22 + 4 = 9 Per tant, la població màxima és de 9 centenars de bacteris. Calculem ara el límit per obtenir la població a llarg termini: 𝑡→∞ 6 + 12𝑡 𝑡2 + 4 = 6 + 0 = 6 𝑡→∞𝑃(𝑡) = lim lim p. Obtenció del valor de b: 0,25 p. b) Obtenció de la població màxima: 0, […]