PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Quan es dissenyen els esglaons d’una escala hi ha diversos paràmetres que cal tenir en compte, dos dels quals són la petja (la part horitzontal de l’esglaó, on es posa el peu) i la contrapetja (la part vertical del graó, és a dir, l’alçària). L’arquitecte francès François Blondel va establir a finals del segle xvii que la relació ideal entre aquestes dues magnituds era que la suma de dues contrapetges més una petja fos igual a 64 cm. Anomenem y la longitud de la contrapetja i x la longitud de la petja. a) Trobeu la funció que permet calcular la longitud ideal de la contrapetja en funció de la longitud de la petja. Quina seria la longitud ideal de la contrapetja si la petja és de 28 cm? [1 punt] b) La normativa actual estableix que en el disseny d’escales d’ús públic cal que la petja sigui com a mínim de 28 cm i que la contrapetja estigui compresa entre 13 i 18,5 cm. A més a més, la suma de dues contrapetges més una petja ha d’estar entre 54 i 70 cm. Escriviu aquestes tres condicions en funció de x i de y. Si volem construir una escala amb esglaons de 40 cm de petja, calculeu entre quins valors ha d’estar compresa la contrapetja per a complir amb la normativa actual. [1,5 punts] 2023 Proves d’accés a la universitat Matemàtiques aplicades a les ciències socials Sèrie 5 Quadre quali fi cacions Espai per a etiquetes Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

64−𝑥 a) Sabem que 2𝑦+ 𝑥= 64. Per tant, aïllant, obtenim que: 𝑦= 2 64−28 D’altra banda, si 𝑥= 28, substituint obtenim que: 𝑦= = 18 cm Per tant, la longitud ideal de la contrapetja és de 18 cm. b) Les inequacions que estableix la normativa són les següents: 𝑥≥28 13 ≤𝑦≤18,5 { 54 ≤2𝑦+ 𝑥≤70 Així doncs, si 𝑥= 40, es compleix la primera condició. Pel que fa a la tercera, d’una banda tenim que 2𝑦+ 40 ≤70, que ens dona que 𝑦≤15. D’altra banda, cal que 2𝑦+ 40 ≥54, que ens dona que 𝑦≥7. També sabem que cal que 13 ≤𝑦≤18,5. Per tant, ajuntant totes les condicions, sabem que cal que la contrapetja estigui entre 13 i 15 cm. a) Escriure la condició en forma d’equació: 0,25 punts. Obtenir y en funció de 𝑥: 0, 5 punts. Trobar la longitud de la contrapetja: 0,25 punts. b) Obtenció de les inequacions: 0,25 punts cadascuna. Treballar bé les desigualtats en el cas concret que 𝑥= 40: 0, 5 punts. Resultat final: 0,25 punts.