PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2004 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Es vol construir una piscina que tingui per base un rectangle i dos semicercles adjunts tal com s’indica a la figura següent: Sabent que el perímetre de la piscina ha de ser de 30 m, calculeu les seves dimensions per tal que la superfície sigui màxima. Puntuació del plantejament: 2 punts; de la resolució: 2 punts. Total: 4 punts.

6. Es vol construir una piscina que tingui per base un rectangle i dos semicercles adjunts tal com s’indica a la figura següent: Sabent que el perímetre de la piscina ha de ser de 30 m, calculeu les seves dimensions per tal que la superfície sigui màxima. Puntuació: plantejament 2 punts; resolució 2 punts. Total: 4 punts. En cas d’error en els càlculs que portin a un resultat que no sigui un cercle, es descomptarà 1 punt. Solució: Anomenem r al radi dels semicercles i x a la distància entre els dos centres dels = π + semicercles. El perímetre és 30 2 r 2 x , que ens permet expressar x en termes de r . = − π x 15 r Tindrem: . La superfície és: = π 2 + = π 2 + − π = − π 2 s r 2 rx r 2 (15 r r ) 30 r r . = − π Per trobar el valor màxim derivem i igualem a 0 la derivada: '( ) s x 30 2 r . I finalment = ≈ x = − π = 30 2 r 0 r 4.77 0 , dóna m, que determina un valor de . Per tant, la piscina ha π de ser circular.