PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Una empresa vol fabricar un producte nou. Encomana un estudi de mercat que determina que l’evolució de les vendes al llarg dels propers sis anys seguirà la funció funció del temps t ∈ [0, 6] expressat en anys. f (t) = t3 – 12t2 + 36t, en què f (t) representa la quantitat de milers d’unitats venudes en a) Quantes unitats vendrà el primer any? Tret de l’instant inicial (t = 0), es preveu que hi haurà algun altre any en què no es produirà cap venda? [1,25 punts] b) En quin any es produirà el màxim nombre de vendes i quants productes s’hauran venut aquell any? [1,25 punts]

2. Una empresa vol fabricar un producte nou. Encomana un estudi de mercat que determina que l'evolució de les vendes al llarg dels propers sis anys seguirà la funció 𝑓(𝑡) = 𝑡³ −12𝑡² + 36𝑡, en què 𝑓(𝑡) representa la quantitat de milers d'unitats venudes en funció del temps 𝑡∈[0,6] expressat en anys. a) Quantes unitats vendrà el primer any? Tret de l’instant inicial (𝑡= 0), es preveu que hi haurà algun altre any en el que no es produirà cap venda? [1,25 punts] b) En quin any es produirà el màxim nombre de vendes i quants productes s’hauran venut aquell any. [1,25 punts] a) Calculem 𝑓(1) = 1 −12 + 36 = 25. Per tant, el primer any es vendran 25.000 unitats. D’altra banda, observem que 𝑓(𝑡) = 𝑡3 −12𝑡2 + 36𝑡= 𝑡· (𝑡−6)2. Per tant, els únics instants en que no es produeix cap venda és a l’instant inicial 𝑡= 0 i al sisè any, 𝑡= 6. b) Si calculem la derivada 𝑓′(𝑡) = 3𝑡² −24𝑡+ 36 = 3 · (𝑡−6) · (𝑡−2), observem que s’anul·la en els punts 𝑡= 2 i 𝑡= 6. Sabem, per l’apartat anterior, que en l’instant […]