PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 1

1. Considereu la funció f(x)=x– ln(x). a) Indiqueu-ne el domini. Determineu l’asímptota vertical de la funció f. [1 punt] b) Determineu els intervals en què la funció f és creixent i els intervals en què és decreixent, i classifiqueu-ne els extrems possibles. [1 punt]

1. a. El  domini  de  f  coincideix  amb  el  de  la  funció  logarítmica:  es  tracta  dels  nombre  reals estrictament  positius.  La  funció  és  contínua  en  tot  el  seu  domini.  Per  tant,  com  que = −∞, l’asímptota vertical de la funció f és x = 0. lim ln(x) + → x 0 b. 1 1 = − − = → = . Com que la derivada és negativa quan f '(x) 1 1 0 x 1 , que s’anul∙la quan x x < < < < 0 x 1  i és positiva quan x > 1, tenim que f és decreixent quan 0 x 1 i és creixent quan = − = x > 1. Com que  f(1) 1 0 1 , la funció f té un mínim en el punt (1,1).