PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2002 · Setembre · Sèrie única · Exercici 5

PROBLEMES 5. Considereu la funció f(x) = 2002x2 + ax + b + sin x, amb a, b reals. Calculeu els valors dels paràmetres a, b perquè f passi pel punt (0, 3) i tingui un extrem relatiu en aquest punt. Expliqueu raonadament quin tipus d'extrem té f en aquest punt. Puntuació: Planteig: 1 punt. Determinació de a i b: 2 punts. Determinació del tipus d'extrem: 1 punt. Total: 4 punts.

Problemes ! # # # 5. Considereu la funció f x ( ) 2002 x ax b sin x , amb ,a b reals. Calculeu els valors dels paràmetres ,a b per tal que f passi pel punt (0,3) i tingui un extrem relatiu en aquest punt. Expliqueu raonadament quin tipus d'extrem té f en aquest punt. Puntuació: Plantejament: 1 punt. Determinació de a i b : 2 punts. Determinació del tipus d'extrem: 1 punt. Total: 4 punts. ! Solució: Si volem que la funció passi pel punt (0,3), hem d'imposar f (0) 3 , d'on resulta b ! x ! 3 . Si, a més, ha de tenir un extrem relatiu en 0 , cal que la seva derivada s’anul·li x ! en 0 . La funció derivada és: ! # # f '( ) x 4004 x a cos x , x ! a # ! a ! " que s'ha d’anul·lar per 0 . Resulta doncs: 1 0. O sigui: 1 Per saber quin tipus d'extrem és, el més senzill és calcular la derivada segona i estudiar el seu signe: ! " f ''( ) x 4004 sin x x ! % 0 val 4004 0 que en el punt . Per tant, es tracta d'un mínim.