PAU Física 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 1 (Part comuna)

PART COMUNA P1) Ceres és el planeta nan més petit del Sistema Solar i durant molts anys va ser considerat un asteroide, ja que està situat en el cinturó que hi ha entre Mart i Júpiter. Ceres té un període orbital al voltant del Sol de 4,60 anys, amb una massa de 9,43 × 1020 kg i un radi de 477 km. Calculeu: a) Quin és el valor de la intensitat de camp gravitatori que Ceres crea a la seva superfície? Quina és la velocitat i l’energia mecànica mínima d’una nau espacial que, sortint de la superfície, escapés totalment de l’atracció gravitatòria del planeta? b) La distància mitjana entre Ceres i el Sol, tenint en compte que la distància mitjana entre la Terra i el Sol mesura 1,50 × 1011 m i que el període orbital de la Terra al voltant del Sol és d’un any. Dada: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2

P1) a) = 6, 67 · 10−11 9, 43 · 1020 gC = GMC (477 · 103)2 = 2, 76 · 10−1 m/s2 0.5 R2 C Per poder sortir de l’òrbita de Ceres s’ha d’assolir una velocitat m`ınima (d’escapament) tal que l’energia mecànica sigui com a mínim 0: Em = 0 0.1 Per tant: r 2 · 6, 67 · 10−11 9, 43 · 1020 r Em = 0 = 1 2 m v2 −G MCm 2 G MC 0.2 = 514 m/s 0.2 ⇒v = = 477 · 103 RC RC b) 2  2π dS−C ⇒d3 T 2 GMSMC GMS = MC S−C =  d2 4π2 C TT  0.2 ⇒ S−C 2 GMSMT 2π dS−T ⇒d3 GMS T 2 = MT S−T =  d2 4π2 T TT  S−T s d3 = T 2 T 2 S−C (3a llei de Klepler) 0.3 ⇒dS−C = dS−T 4, 602 = 4, 15·1011m 0.5 C 3 = 1, 50·1011 3p C d3 T 2 T 2 S−T T T