Flashcards: Funcions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una funció?

   Una relació que assigna a cada valor de $x$ un únic valor de $y$. S'escriu $y = f(x)$.

2. 2. Què és el domini d'una funció?

   El conjunt de valors de $x$ per als quals la funció existeix, és a dir, on es pot calcular la $y$. En una gràfica es llegeix a l'eix horitzontal.

3. 3. Què és el recorregut d'una funció?

   El conjunt de valors que pren la $y$. En una gràfica es llegeix a l'eix vertical: fins on puja i fins on baixa.

4. 4. Quins dos perills has de mirar per trobar el domini?

   Denominadors, que no poden valer zero, i arrels d'índex parell, que necessiten el de dins $\ge 0$. Si no n'hi ha cap, el domini és tot $\mathbb{R}$.

5. 5. Domini d'una funció del tipus $\sqrt{x - a}$?

   $x - a \ge 0$, és a dir, $[a, +\infty)$. L'$a$ hi entra, perquè l'arrel de zero existeix.

6. 6. Error típic: a $\dfrac{x - 1}{x + 2}$, treure l'1 del domini.

   L'1 hi és: anul·la el numerador i la funció hi val 0. Només en surt el $-2$, que anul·la el denominador.

7. 7. Quan és contínua una funció?

   Quan es pot dibuixar sense aixecar el llapis: sense salts, forats ni escapades cap a l'infinit.

8. 8. Quins tipus de discontinuïtat et pots trobar?

   Salt (passa d'un valor a un altre de cop), asímptota (s'escapa cap a l'infinit, com $\dfrac{1}{x}$ a prop del zero) i forat (hi falta un sol punt).

9. 9. Quan és creixent una funció?

   Quan, en avançar d'esquerra a dreta, la gràfica puja. Si baixa, és decreixent. El creixement sempre es llegeix d'esquerra a dreta.

10. 10. Què és un màxim relatiu i què és un mínim relatiu?

    Màxim: punt on la funció passa de créixer a decréixer (un cim). Mínim: on passa de decréixer a créixer (una vall).

11. 11. Fórmula de la taxa de variació mitjana en $[a, b]$?

    $\mathrm{TVM} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$: el canvi de la $y$ dividit pel canvi de la $x$. És el pendent de la recta secant que uneix els dos punts.

12. 12. Què vol dir que la TVM sigui positiva o negativa?

    Positiva: de mitjana, la funció ha pujat en aquell tram. Negativa: ha baixat. Com més gran en valor absolut, més brusc és el canvi.

13. 13. Si la TVM en un interval és zero, vol dir que la funció no ha canviat?

    No necessàriament: pot haver pujat i baixat i acabar al mateix valor. Només vol dir que $f(b) = f(a)$.

14. 14. En quines unitats es mesura la TVM?

    En unitats de $y$ per unitat de $x$: litres per hora, euros per mes. La velocitat mitjana, en $\mathrm{km/h}$, és una TVM.

15. 15. A la funció lineal $y = mx + n$, què indiquen $m$ i $n$?

    $m$ és el pendent: quant puja o baixa la recta per cada unitat que avança cap a la dreta. $n$ és on talla l'eix vertical.

16. 16. Com saps si la paràbola $y = ax^{2} + bx + c$ obre cap amunt o cap avall?

    Pel signe d'$a$: si $a > 0$, obre cap amunt i el vèrtex és un mínim; si $a < 0$, cap avall i el vèrtex és un màxim.

17. 17. On és el vèrtex de la paràbola $y = ax^{2} + bx + c$?

    A $x = -\dfrac{b}{2a}$, amb el signe menys. La $y$ del vèrtex surt de substituir aquesta $x$ a la funció.

18. 18. On talla l'eix horitzontal la paràbola $y = ax^{2} + bx + c$?

    A les solucions de l'equació $ax^{2} + bx + c = 0$. Si no en té, no talla l'eix.

19. 19. Què és una asímptota? Quines té $y = \dfrac{1}{x}$?

    Una recta a la qual la gràfica s'acosta tant com vulguis quan s'allunya cap a l'infinit. $y = \dfrac{1}{x}$ té l'asímptota vertical $x = 0$ i l'horitzontal $y = 0$.

20. 20. Com és la funció exponencial $y = a^{x}$ segons la base?

    Si $a > 1$, creix cada cop més de pressa. Si $0 < a < 1$, decreix acostant-se a zero.

21. 21. Per quin punt passa sempre $y = a^{x}$ i quins valors no pren mai?

    Pel $(0, 1)$, perquè $a^{0} = 1$. Mai val zero ni és negativa: l'eix horitzontal és una asímptota.

22. 22. Error típic: confondre $2^{x}$ amb $x^{2}$.

    A $2^{x}$ la $x$ és a l'exponent. Per a $x = 10$, $2^{10} = 1024$ i $10^{2} = 100$: l'exponencial acaba guanyant sempre.

23. 23. Entre quins valors es mouen el sinus i el cosinus?

    Sempre entre $-1$ i 1: el seu recorregut és $[-1, 1]$. Amb un nombre davant, com $y = 3\sin x$, l'ona va de $-3$ a 3 (l'amplitud).

24. 24. Què vol dir que una funció és periòdica? Quin període tenen el sinus i el cosinus?

    Que el dibuix es repeteix igual cada cert tram, el període. El del sinus i el cosinus és una volta: $360^\circ$ o $2\pi$ radiants.