Exercicis de successions i progressions — Matemàtiques 3r ESO

$a_{1}$ = 5 · 1 = 5.

d = 8 - 5 = 3.

r = 4/2 = 2.

Substituïm n = 1, 2, 3, 4, 5 a la fórmula:
a₁ = 1 + 1 = 2; a₂ = 4 + 1 = 5; a₃ = 9 + 1 = 10; a₄ = 16 + 1 = 17; a₅ = 25 + 1 = 26.
Els termes són 2, 5, 10, 17, 26.

Mirem les diferències entre termes consecutius: 10 - 7 = 3; 13 - 10 = 3; 16 - 13 = 3.
La diferència és constant, així que és una progressió aritmètica amb d = 3.
El terme següent és 16 + 3 = 19.

Dividim cada terme entre l'anterior: 27 / 81 = 1/3; 9 / 27 = 1/3; 3 / 9 = 1/3.
És una progressió geomètrica de raó r = 1/3.
El terme següent és 3 · 1/3 = 1.

Cada terme és el quadrat de la seva posició: $1^{2}$, $2^{2}$, $3^{2}$, $4^{2}$, $5^{2}$.
El següent és el sisè: $6^{2}$ = 36.
Aquesta successió té terme general $a_{n}$ = $n^{2}$.

Les diferències són constants (d = 3), per tant a_n = a₁ + (n - 1)d = 4 + 3(n - 1).
Simplificant: a_n = 3n + 1.
Comprovació: a₁ = 4 i a₄ = 13.

Partim de a₁ = 2 i cada terme és l'anterior més 5.
a₂ = 2 + 5 = 7; a₃ = 7 + 5 = 12; a₄ = 12 + 5 = 17.
Els termes són 2, 7, 12, 17.

Substituïm n = 5: $a_{5}$ = 3 · $2^{5-1}$ = 3 · $2^{4}$.
$2^{4}$ = 16, per tant $a_{5}$ = 3 · 16 = 48.
Comprovació: 3, 6, 12, 24, 48.

$a_{10}$ = 2 · 10 + 1 = 21.

Sumes 5 cada cop i comences pel 5: $a_{n}$ = 5n.

a₈ = 3 + (8 - 1) · 2 = 3 + 14 = 17.

$S_{4}$ = (1 + 7) · $\tfrac{4}{2} = 8$ · 2 = 16.

La raó és r = 3; $a_{4}$ = 4 · $3^{3}$ = 4 · 27 = 108.

a_n = a₁ + (n - 1)d = 7 + (n - 1)(-2) = 9 - 2n.
a₂₀ = 9 - 2 · 20 = -31.
Comprovació: 7 + 19 · (-2) = 7 - 38 = -31.

La diferència és d = 3 i a₁ = 5, així que a_n = 5 + 3(n - 1).
Igualem a 59: 5 + 3(n - 1) = 59, 3(n - 1) = 54, n - 1 = 18.
n = 19. El 59 és el terme que ocupa el lloc 19.

És una progressió aritmètica amb $a_{1}$ = 1, $a_{20}$ = 20 i n = 20.
$S_{n}$ = n($a_{1}$ + $a_{n}$)/2 = 20 · $\tfrac{(1 + 20)}{2} = 20$ · $\tfrac{21}{2} = 210$.

$a_{n}$ = $a_{1}$ · $r^{n-1}$, així que $a_{6}$ = 2 · $3^{5}$.
$3^{5}$ = 243, per tant $a_{6}$ = 2 · 243 = 486.
Comprovació: 2, 6, 18, 54, 162, 486.

La raó és r = 2, $a_{1}$ = 3 i n = 5.
$S_{n}$ = $a_{1}$($r^{n}$ - 1)/(r - 1) = 3($2^{5}$ - 1)/(2 - 1) = 3 · 31 = 93.
Comprovació: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

Tenim a₁ = 3 i a₅ = 19. Com que a₅ = a₁ + 4d: 19 = 3 + 4d, d = 4.
Els termes intermedis són 3 + 4 = 7, 11 i 15.
La progressió és 3, 7, 11, 15, 19.

Calculem la diferència de dos termes consecutius qualssevol: $a_{n+1}$ - $a_{n}$ = (3(n + 1) - 2) - (3n - 2).
= 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3, que no depèn de n.
És aritmètica amb d = 3. Els primers termes són 1, 4, 7, 10…

a₁₀ = 6 + 9 · 4 = 42. S₁₀ = (6 + 42) · 10 / 2 = 48 · 5 = 240.

Comença amb 1000; després 1000 · 1,1 = 1100 i 1100 · 1,1 = 1210. Al cap de 2 anys, 1210 persones.

a₇ - a₃ = 4d, així que 23 - 11 = 4d i d = 3.
a₃ = a₁ + 2d → 11 = a₁ + 6, d'on a₁ = 5.
a₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32.
Comprovació: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23: el tercer és 11 i el setè, 23.

a₅ = a₂ · r³, per tant r³ = 162 / 6 = 27 i r = 3.
a₁ = a₂ / r = 6 / 3 = 2.
Els termes són 2, 6, 18, 54, 162.

Els seients de cada fila formen una progressió aritmètica amb a₁ = 12, d = 2 i n = 15.
Última fila: a₁₅ = 12 + 14 · 2 = 40.
Total: S₁₅ = 15 · (12 + 40)/2 = 15 · 26 = 390 seients.

Progressió geomètrica de raó 2: després de t hores hi ha 50 · $2^{t}$ bacteris.
t = 8: 50 · 256 = 12800 bacteris.
Per superar 1000: t = 4 dona 800 (no arriba) i t = 5 dona 1600 (supera).
Calen 5 hores.

Progressió aritmètica $a_{1}$ = 5, d = 1. La suma dels n primers termes és $S_{n}$ = n(2 · 5 + (n - 1) · 1)/2 = n(n + 9)/2.
Igualem a 95: n(n + 9) = 190, és a dir, $n^{2}$ + 9n - 190 = 0.
n = $\tfrac{(-9 \pm \sqrt{81 + 760})}{2}$ = $\tfrac{(-9 \pm 29)}{2}$, d'on n = 10 (descartem n = -19).
Comprovació: 5 + 6 + … + 14 = 10 · $\tfrac{(5 + 14)}{2} = 95$ km.

Els llumins augmenten de 3 en 3, així que és una progressió aritmètica amb a₁ = 4 i d = 3: a_n = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1.
Figura 25: 3 · 25 + 1 = 76 llumins.
3n + 1 = 100 → 3n = 99 → n = 33. La figura 33 en necessita 100.