Exercicis d'equacions de segon grau i sistemes — Matemàtiques 3r ESO

Passem tots els termes a l'esquerra: 2x² - 7x + 3 = 0.
Els coeficients són a = 2, b = -7 i c = 3.
Compte amb el signe de b: és -7, no 7.

No té terme independent, així que traiem factor comú: x(x - 7) = 0.
Un producte és zero quan un dels factors ho és: x = 0 o x - 7 = 0.
Solucions: x = 0 i x = 7.

No té terme de grau 1. Aïllem $x^{2}$: 2x² = 50, $x^{2}$ = 25.
Per tant x = ±$\sqrt{25}$ = ±5.
Solucions: x = 5 i x = -5.

Δ = $b^{2}$ - 4ac = $(-4)^{2}$ - 4·3·5 = 16 - 60 = -44.
Com que Δ és negatiu, l'equació no té cap solució real.

Aquí a = 1, b = -5 i c = 6. Δ = $(-5)^{2}$ - 4·1·6 = 25 - 24 = 1.
x = $\tfrac{(5 \pm \sqrt{1})}{2}$, per tant x = $\tfrac{(5 + 1)}{2} = 3$ i x = $\tfrac{(5 - 1)}{2} = 2$.
Comprovació: 2 + 3 = 5 (= -b/a) i 2 · 3 = 6 (= $\tfrac{c}{a}$).

Substituïm x = 3: 9 - 6 - 3 = 0, es compleix, per tant x = 3 és solució.
Substituïm x = -1: 1 + 2 - 3 = 0, també es compleix, per tant x = -1 és solució.

Substituïm y = 2x a la segona equació: x + 2x = 9, 3x = 9, x = 3.
Aleshores y = 2·3 = 6.
Solució: x = 3, y = 6.
Comprovació: 3 + 6 = 9.

Sumem les dues equacions: la y s'anul·la. 2x = 14, x = 7.
De la primera: y = 10 - 7 = 3.
Solució: x = 7, y = 3.
Comprovació: 7 - 3 = 4.

Com que les dues expressions són iguals a y, les igualem: 3x - 1 = x + 5.
2x = 6, x = 3.
y = 3 + 5 = 8.
Solució: x = 3, y = 8.
Comprovació: 3·3 - 1 = 8.

Δ = (-6)² - 4·1·9 = 36 - 36 = 0.
Com que Δ = 0, hi ha una única solució (doble).
x = 6/2 = 3.
Comprovació: x² - 6x + 9 = (x - 3)².

a = 2, b = -3, c = -5. Δ = 9 - 4·2·(-5) = 9 + 40 = 49.
x = (3 ± 7)/4.
x = (3 + 7)/4 = 10/4 = 5/2 = 2,5 i x = (3 - 7)/4 = -1.
Comprovació: per x = -1, 2 + 3 - 5 = 0.

Desenvolupem: x² + 2x - 3x - 6 = 14, és a dir x² - x - 20 = 0.
Δ = 1 + 80 = 81, x = (1 ± 9)/2.
Solucions: x = 5 i x = -4.
Error típic: igualar cada factor a 14 (només es pot fer quan el producte val 0).

Multipliquem tots els termes per 4 per eliminar denominadors: x² - 6x = 16, és a dir x² - 6x - 16 = 0.
Δ = 36 + 64 = 100, x = (6 ± 10)/2.
Solucions: x = 8 i x = -2.
Comprovació: 64/4 - 24/2 = 16 - 12 = 4.

Siguin x i 11 - x els dos nombres. El producte és x(11 - x) = 28, és a dir 11x - $x^{2}$ = 28, o bé $x^{2}$ - 11x + 28 = 0.
Δ = 121 - 112 = 9, x = $\tfrac{(11 \pm 3)}{2}$, d'on x = 7 o x = 4.
Els nombres són 4 i 7 (en qualsevol ordre).
Comprovació: 4 + 7 = 11 i 4 · 7 = 28.

El semiperímetre és 15, així que els costats són x i 15 - x.
Àrea: x(15 - x) = 56, per tant $x^{2}$ - 15x + 56 = 0.
Δ = 225 - 224 = 1, x = $\tfrac{(15 \pm 1)}{2}$, d'on x = 8 o x = 7.
El rectangle fa 8 cm × 7 cm.
Comprovació: 2·(8 + 7) = 30 i 8·7 = 56.

Una solució doble requereix Δ = 0.
Δ = $k^{2}$ - 4·1·9 = $k^{2}$ - 36 = 0, per tant $k^{2}$ = 36 i k = 6 o k = -6.
Comprovació: per k = 6, $x^{2}$ + 6x + 9 = $(x + 3)^{2}$, solució doble x = -3.

Siguin x i x + 1. Llavors x(x + 1) = 156, és a dir x² + x - 156 = 0.
Δ = 1 + 624 = 625 = 25², x = (-1 ± 25)/2, d'on x = 12 o x = -13.
Hi ha dues possibilitats: 12 i 13, o bé -13 i -12.
Comprovació: 12 · 13 = 156 i (-13)·(-12) = 156.

Multipliquem la primera equació per 2 perquè la y tingui coeficient 4: 6x + 4y = 24.
Sumem amb la segona (5x - 4y = -2): 11x = 22, x = 2.
Substituïm a la primera: 6 + 2y = 12, y = 3.
Solució: x = 2, y = 3.
Comprovació: 5·2 - 4·3 = 10 - 12 = -2.

Siguin x el preu d'adult i y el d'infantil: 3x + 4y = 44 i 2x + 5y = 41.
Multipliquem la primera per 2 i la segona per 3: 6x + 8y = 88 i 6x + 15y = 123.
Restem: 7y = 35, y = 5. Llavors 3x + 20 = 44, x = 8.
Adult: 8 €; infantil: 5 €.
Comprovació: 2·8 + 5·5 = 16 + 25 = 41 €.

a) La segona equació és el doble de la primera: són la mateixa recta. Infinites solucions: compatible indeterminat.
b) Els coeficients són proporcionals (2x + 4y = 2·(x + 2y)) però el terme independent no (7 ≠ 10): rectes paral·leles, cap solució. Incompatible.
c) Els coeficients no són proporcionals ($\tfrac{1}{1}$ ≠ $\tfrac{2}{(-1)}$): les rectes es tallen en un punt. Compatible determinat (x = 3, y = 1).

Toca a terra quan h = 0: 20t - 5t² = 0.
Traiem factor comú: 5t(4 - t) = 0, per tant t = 0 (el moment del llançament) o t = 4.
La pilota torna a terra als 4 segons.

Si les solucions són 3 i -5, l'equació és (x - 3)(x + 5) = 0, que desenvolupada dona x² + 2x - 15 = 0.
Comprovació amb la fórmula: Δ = 4 + 60 = 64, x = (-2 ± 8)/2, d'on x = 3 i x = -5.
Es compleix també que la suma d'arrels és -b/a = -2 i el producte és c/a = -15.

Sigui x l'edat actual. Dins de 3 anys tindrà x + 3 i fa 2 anys en tenia x - 2.
(x + 3)(x - 2) = 36, és a dir x² + x - 6 = 36, x² + x - 42 = 0.
Δ = 1 + 168 = 169, x = (-1 ± 13)/2, d'on x = 6 o x = -7.
L'edat no pot ser negativa, per tant la Laia té 6 anys.
Comprovació: 9 · 4 = 36.

Sigui x l'amplada del camí. Les dimensions totals són 10 + 2x i 6 + 2x.
(10 + 2x)(6 + 2x) = 140, és a dir 60 + 32x + 4x² = 140, i simplificant x² + 8x - 20 = 0.
Δ = 64 + 80 = 144, x = (-8 ± 12)/2, d'on x = 2 o x = -10.
L'amplada no pot ser negativa: el camí fa 2 m.
Comprovació: 14 · 10 = 140 m².

Catets x i x + 3. Pel teorema de Pitàgores: x² + (x + 3)² = 15².
x² + x² + 6x + 9 = 225, per tant 2x² + 6x - 216 = 0, que dividida per 2 és x² + 3x - 108 = 0.
Δ = 9 + 432 = 441 = 21², x = (-3 ± 21)/2, d'on x = 9 o x = -12.
Una longitud no pot ser negativa: els catets fan 9 cm i 12 cm.
Comprovació: 81 + 144 = 225.

Calculem el discriminant: Δ = $(-4)^{2}$ - 4·1·m = 16 - 4m.
Si Δ > 0, és a dir m < 4: dues solucions reals diferents.
Si Δ = 0, és a dir m = 4: una solució doble (x = 2).
Si Δ < 0, és a dir m > 4: cap solució real.

Un sistema de dues equacions lineals és incompatible quan els coeficients de les incògnites són proporcionals però el terme independent no ho és.
Proporcionalitat: $\tfrac{3}{1}$ = $\tfrac{k}{2}$, per tant k = 6. Aleshores el terme independent hauria de ser 3·5 = 15, però és 7, així que no hi ha solució: incompatible.
Per a qualsevol altre valor de k (k ≠ 6) els coeficients no són proporcionals, les rectes es tallen en un punt i el sistema és compatible determinat.

Siguin x els kg de la de 6 €/kg i y els de 9 €/kg.
Quantitat: x + y = 10. Preu total: 6x + 9y = 10 · 7,5 = 75.
De la primera, x = 10 - y. Substituïm: 6(10 - y) + 9y = 75, 60 + 3y = 75, y = 5 i x = 5.
Cal posar-hi 5 kg de cadascuna.
Comprovació: 6·5 + 9·5 = 30 + 45 = 75 €.

Sistema: x + y = 17 i $x^{2}$ + $y^{2}$ = 145.
Aïllem y = 17 - x i substituïm: $x^{2}$ + $(17 - x)^{2}$ = 145, és a dir 2x² - 34x + 289 = 145, que simplificada és $x^{2}$ - 17x + 72 = 0.
Δ = 289 - 288 = 1, x = $\tfrac{(17 \pm 1)}{2}$, d'on x = 9 o x = 8.
Si x = 9, y = 8; si x = 8, y = 9. Els nombres són 8 i 9.
Comprovació: 64 + 81 = 145.

Sí, hi ha un error: en dividir per x es perd una solució, perquè x = 0 també compleix l'equació i no es pot dividir per 0.
Forma correcta: $x^{2}$ - 5x = 0, x(x - 5) = 0.
Solucions: x = 0 i x = 5.
Regla: mai no dividim per una expressió que pot valer zero; en comptes d'això, passem-ho tot a un membre i traiem factor comú.