Exercicis de cossos geomètrics: àrees i volums — Matemàtiques 3r ESO

El cub té 6 cares quadrades de costat 5 cm.
Àrea total = 6 · $5^{2}$ = 6 · 25 = 150 cm².
Volum = $5^{3}$ = 125 cm³.

Volum = 8 · 5 · 3 = 120 cm³.
Àrea total = 2(8·5 + 8·3 + 5·3) = 2(40 + 24 + 15) = 2 · 79 = 158 cm².

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · $3^{2}$ · 10 = 3,14 · 90 = 282,6 cm³.
En funció de π, el volum és 90π cm³.

L'àrea lateral és un rectangle de base la circumferència (2πr) i altura h: A = 2π · r · h = 2 · 3,14 · 4 · 7 = 175,84 dm².

V = ($\tfrac{1}{3}$) · π · $r^{2}$ · h = ($\tfrac{1}{3}$) · 3,14 · 9 · 4 = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 36)}{3} = 37{,}68$ cm³.
Error típic: oblidar el factor $\tfrac{1}{3}$.

V = ($\tfrac{4}{3}$) · π · $r^{3}$ = ($\tfrac{4}{3}$) · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm³.

Àrea de la base = $6^{2}$ = 36 cm².
V = ($\tfrac{1}{3}$) · $A_{\mathrm{base}}$ · h = ($\tfrac{1}{3}$) · 36 · 5 = 60 cm³.

Recorda que 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ i 1 m³ = 1000 dm³.
a) 3,5 L = 3,5 · 1000 = 3500 cm³.
b) 2 m³ = 2000 dm³ = 2000 L.
c) 750 cm³ = 750/1000 = 0,75 L.

A = 4 · π · $r^{2}$ = 4 · 3,14 · 25 = 314 cm².

Cares + vèrtexs = 5 + 6 = 11.
Arestes + 2 = 9 + 2 = 11.
Els dos membres coincideixen, per tant la fórmula d'Euler es compleix.

Hipotenusa de la base: √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
Àrea de la base = 3·4/2 = 6 cm². Volum = 6 · 10 = 60 cm³.
Àrea lateral = perímetre de la base · altura = (3 + 4 + 5) · 10 = 120 cm².
Àrea total = 120 + 2 · 6 = 132 cm².

$A_{\mathrm{total}}$ = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 5 · (5 + 12) = 31,4 · 17 = 533,8 cm².
Són l'àrea lateral (2πrh) més les dues bases (2πr²).

Generatriu: g = √(r² + h²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Àrea lateral = π · r · g = 3,14 · 6 · 10 = 188,4 cm².
Àrea de la base = π · r² = 3,14 · 36 = 113,04 cm².
Àrea total = 188,4 + 113,04 = 301,44 cm².

L'apotema de la base és la meitat del costat: 5 cm. L'apotema de la piràmide (altura d'una cara lateral) és a = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm.
Àrea lateral = 4 cares triangulars = 4 · (10 · 13)/2 = 260 cm².
Àrea total = 260 + 10² = 360 cm².
Volum = (1/3) · 100 · 12 = 400 cm³.

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · $0{,}5^{2}$ · 2 = 3,14 · 0,5 = 1,57 $\text{m}^{3}$.
Com que 1 $\text{m}^{3}$ = 1000 L: 1,57 · 1000 = 1570 L.

Volum = 2 · 1,5 · 1 = 3 $\text{m}^{3}$ = 3000 dm³ = 3000 L.
Garrafes: $\tfrac{3000}{5} = 600$ garrafes.

V = ($\tfrac{4}{3}$)πr³ = 288π. Simplifiquem π: ($\tfrac{4}{3}$)$r^{3}$ = 288.
$r^{3}$ = 288 · $\tfrac{3}{4} = 216$, per tant r = ∛216 = 6 cm.
Comprovació: ($\tfrac{4}{3}$) · 216 = 288.

La diagonal d'un prisma rectangular és d = $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.
d = $\sqrt{9 + 16 + 144}$ = $\sqrt{169}$ = 13 dm.

V = πr²h, per tant h = V/(πr²) = 785/(3,14 · 25) = 785/78,5 = 10 cm.

Al llarg: $\tfrac{30}{5} = 6$ cubs; a l'ample: $\tfrac{20}{5} = 4$; en altura: $\tfrac{10}{5} = 2$.
Total: 6 · 4 · 2 = 48 cubs.
Comprovació: volum de la caixa = 6000 cm³; volum d'un cub = 125 cm³; $\tfrac{6000}{125} = 48$.

Desplegada, la superfície lateral és un rectangle. Un costat és l'altura: 11 cm. L'altre és la circumferència de la base: 2πr = 2 · 3,14 · 3,5 = 21,98 cm.
Àrea = 21,98 · 11 = 241,78 cm².
Comprovació amb la fórmula 2πrh = 2 · 3,14 · 3,5 · 11 = 241,78 cm².

Si prolonguem el tronc fins a la piràmide completa, la piràmide petita que sobra és semblant a la gran amb raó 3/6 = 1/2. Sigui H l'altura de la gran: H - 4 = H/2, així que H = 8 cm.
Piràmide gran: (1/3) · 36 · 8 = 96 cm³. Piràmide petita (altura 4): (1/3) · 9 · 4 = 12 cm³.
Volum del tronc = 96 - 12 = 84 cm³.

Completem el con: la raó de semblança és 3/6 = 1/2, així que l'altura total és 8 cm (el con petit en té 4).
Con gran: (1/3) · π · 6² · 8 = 96π. Con petit: (1/3) · π · 3² · 4 = 12π.
Tronc: 96π - 12π = 84π = 84 · 3,14 = 263,76 cm³.
Com que 1 cm³ = 1 mL, la capacitat és d'uns 264 mL.

Volum de la caixa = 10³ = 1000 cm³.
Volum de la pilota = (4/3) · 3,14 · 5³ = (4/3) · 3,14 · 125 = 523,33 cm³.
Percentatge = 523,33/1000 · 100 ≈ 52,3 %.
Gairebé la meitat de la caixa queda buida.

Radi = 5 cm i volum = 1 L = 1000 cm³.
Altura: h = V/(πr²) = 1000/(3,14 · 25) = 1000/78,5 ≈ 12,74 cm.
Xapa = àrea total = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 5 · (5 + 12,74) ≈ 31,4 · 17,74 ≈ 557 cm².

Volum = 25 · 10 · 1,5 = 375 m³ = 375000 L.
Temps = 375000/500 = 750 minuts = 12,5 hores (12 h 30 min).

Con: ($\tfrac{1}{3}$) · π · $3^{2}$ · 10 = 30π.
Mitja esfera: ($\tfrac{1}{2}$) · ($\tfrac{4}{3}$) · π · $3^{3}$ = 18π.
Total = 48π = 48 · 3,14 = 150,72 cm³.

Cub d'aresta a: àrea 6a² i volum $a^{3}$. Amb aresta 2a: àrea 6$(2a)^{2}$ = 24a² (4 vegades més gran) i volum $(2a)^{3}$ = 8a³ (8 vegades més gran).
Esfera: A = 4πr² i V = ($\tfrac{4}{3}$)πr³. Amb radi 3r, l'àrea es multiplica per $3^{2}$ = 9 i el volum per $3^{3}$ = 27.
Regla general: si les longituds es multipliquen per k, les àrees es multipliquen per $k^{2}$ i els volums per $k^{3}$.

Cilindre: V_cil = πr²h. Con: V_con = (1/3)πr²h.
Per tant V_con = (1/3) · V_cil = 300/3 = 100 cm³.
El con ocupa la tercera part del cilindre amb la mateixa base i altura.

L'aigua forma un con semblant al got, amb raó 1/2: el seu radi és 2 cm i la seva altura, 6 cm.
Volum d'aigua = (1/3) · 3,14 · 2² · 6 = 8 · 3,14 = 25,12 cm³.
Capacitat total = (1/3) · 3,14 · 4² · 12 = 64 · 3,14 = 200,96 cm³.
Fracció = 8π/64π = 1/8.
Tot i estar a mitja altura, el got només és ple a 1/8 de la capacitat (la raó de volums és (1/2)³).