Exercicis de moviments en el pla — Matemàtiques 3r ESO

Sumem les components del vector a les coordenades del punt: A' = (1 + 3, 4 + (-2)) = (4, 2).

Les components del vector AB són les coordenades de B menys les d'A: AB = (6 - 2, 4 - 1) = (4, 3).
Compte amb l'ordre: «final menys inici».

Respecte a OX es conserva la x i canvia el signe de la y: (x, y) → (x, -y). Així P' = (3, -5).
Respecte a OY es conserva la y i canvia el signe de la x: (x, y) → (-x, y). Així P'' = (-3, 5).

La simetria central de centre l'origen canvia el signe de les dues coordenades: (x, y) → (-x, -y).
A' = (2, -6).
Comprovació: l'origen és el punt mig del segment AA': ($\tfrac{(-2 + 2)}{2}$, $\tfrac{(6 - 6)}{2}$) = (0, 0).

En un gir de 90° antihorari al voltant de l'origen, (x, y) → (-y, x).
A' = (-1, 3).
Comprovació: la distància a l'origen es conserva: $\sqrt{3^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{10}$ i $\sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{10}$.

Un gir de 180° al voltant de l'origen fa (x, y) → (-x, -y).
B' = (-4, 2).
És el mateix resultat que la simetria central respecte a l'origen.

Conserven l'orientació: la translació, el gir i la simetria central.
La simetria axial l'inverteix (la imatge és com la figura vista en un mirall).
Tots els moviments conserven les distàncies, els angles i les àrees: la figura i la seva imatge són congruents.

Quadrat: 4 eixos (2 per les mediatrius dels costats i 2 per les diagonals).
Rectangle no quadrat: 2 eixos (les mediatrius dels costats; les diagonals no són eixos).
Triangle equilàter: 3 eixos (un per cada altura).
Circumferència: infinits eixos (tots els diàmetres).

El vector és AA' = (7 - 2, -1 - 3) = (5, -4).
Per desfer la translació cal el vector oposat: (-5, 4).
Comprovació: A' + (-5, 4) = (2, 3) = A.

L'eix és vertical, així que la y no canvia. La x de la imatge està a la mateixa distància de l'eix, a l'altre costat: 5 és a 3 unitats a la dreta de x = 2, així que la imatge és a 3 unitats a l'esquerra: 2 - 3 = -1.
A' = (-1, 1).
Comprovació: el punt mig d'AA' és (2, 1), que és sobre l'eix.

Sumem (-3, 2) a cada vèrtex:
A' = (0 - 3, 0 + 2) = (-3, 2).
B' = (2 - 3, 0 + 2) = (-1, 2).
C' = (1 - 3, 3 + 2) = (-2, 5).
Comprovació: A'B' = 2 i AB = 2; la translació conserva les longituds.

En un gir de 90° en sentit horari al voltant de l'origen, (x, y) → (y, -x).
P' = (5, -2).
Comprovació: girar-lo 90° en sentit antihorari el retorna al lloc: (x, y) → (-y, x), és a dir (5, -2) → (2, 5).

Prenem el centre com a referència: vector CA = (4 - 1, 1 - 1) = (3, 0).
Girem el vector 90° antihorari: (x, y) → (-y, x) = (0, 3).
Tornem a sumar el centre: A' = (1 + 0, 1 + 3) = (1, 4).
Comprovació: CA = CA' = 3.

El centre P és el punt mig del segment AA'. Si A' = (x, y): $\tfrac{(5 + x)}{2} = 2$ i $\tfrac{(7 + y)}{2} = 3$.
Aleshores 5 + x = 4, x = -1, i 7 + y = 6, y = -1.
A' = (-1, -1).
Altra manera: A' = 2P - A = (4 - 5, 6 - 7) = (-1, -1).

Respecte a y = x s'intercanvien les coordenades: (x, y) → (y, x). Q' = (-2, 3).
Respecte a y = -x s'intercanvien i es canvien els signes: (x, y) → (-y, -x). Q'' = (2, -3).
Comprovació: el punt mig de QQ' és (0,5; 0,5), que és a la recta y = x.

La composició de dues translacions és una translació de vector la suma: v + w = (2 - 5, 3 + 1) = (-3, 4).
Imatge de A(1, 1): (1 - 3, 1 + 4) = (-2, 5).
Comprovació pas a pas: A → (3, 4) → (-2, 5).

Primera simetria (x = 0): (1, 2) → (-1, 2).
Segona simetria (x = 3): la x passa a 2·3 - (-1) = 7, la y no canvia: (7, 2).
Resultat: el punt s'ha desplaçat de (1, 2) a (7, 2), és a dir, 6 unitats cap a la dreta.
La composició de dues simetries d'eixos paral·lels és una translació de vector perpendicular als eixos i de longitud el doble de la distància entre ells: 2 · 3 = 6, vector (6, 0).

Les abscisses es mantenen i les ordenades canvien de signe: (x, y) → (x, -y).
És la simetria axial respecte a l'eix OX.
Comprovació: la distància AB = $\sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{5}$ i A'B' = $\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$, es conserva.

Les dues coordenades canvien de signe: (x, y) → (-x, -y).
Pot ser la simetria central respecte a l'origen o, equivalentment, un gir de 180° amb centre l'origen. Són el mateix moviment.
Comprovació: el punt mig de AA' és (0, 0), el centre.

En cada vèrtex del mosaic s'han de trobar polígons que sumin 360°.
Triangle equilàter: angle de 60°, $\tfrac{360}{60} = 6$ triangles per vèrtex. Quadrat: 90°, $\tfrac{360}{90} = 4$ quadrats. Hexàgon: 120°, $\tfrac{360}{120} = 3$ hexàgons.
Pentàgon regular: angle interior 108°, i $\tfrac{360}{108} = 3{,}33$ no és enter. Amb 3 pentàgons sumen 324° i en queda un forat de 36°, i amb 4 se solapen (432°).

Cada motiu s'obté sumant (4, 0) al precedent.
Següents: (1 + 4, 2) = (5, 2); (9, 2); (13, 2).
Motiu anterior: restem (4, 0): (1 - 4, 2) = (-3, 2).
En general, les còpies són (1 + 4n, 2), amb n enter.

El centre és el punt mig del segment AA'.
C = ($\tfrac{(1 + 5)}{2}$, $\tfrac{(2 + 6)}{2}$) = (3, 4).
Comprovació: la imatge de A per la simetria de centre C és 2C - A = (6 - 1, 8 - 2) = (5, 6) = A'.

L'eix és la mediatriu del segment AA'. Com que A i A' tenen la mateixa y, el segment és horitzontal i l'eix és vertical, passant pel punt mig (4, 5): x = 4.
Comprovació amb B: la imatge de (3, 2) per x = 4 és (2·4 - 3, 2) = (5, 2) = B'.
L'eix és x = 4.

Apliquem (x, y) → (-y, x): A' = (-1, 1), B' = (-1, 4), C' = (-3, 1).
Costats originals: AB = 3 (horitzontal) i AC = 2 (vertical).
Costats de la imatge: A'B' = |4 - 1| = 3 (vertical) i A'C' = |-3 - (-1)| = 2 (horitzontal).
Les longituds es conserven, com en tots els moviments.

Ordre 1 (gir i després simetria): gir → (-3, 2); simetria respecte a OX → (-3, -2).
Ordre 2 (simetria i després gir): simetria → (2, -3); gir de 90° antihorari → (3, 2).
Els resultats (-3, -2) i (3, 2) són diferents.
Conclusió: la composició de moviments no és, en general, commutativa; l'ordre importa.

Dos girs amb el mateix centre se sumen els angles: 90° + 180° = 270° antihorari (equivalent a 90° en sentit horari).
Comprovació amb (1, 0): gir de 90° → (0, 1); gir de 180° → (0, -1).
Gir directe de 270° antihorari: (x, y) → (y, -x) = (0, -1). Coincideix.

Vector: AA' = (-1 - 3, 5 - (-2)) = (-4, 7).
Imatge de P: (0 - 4, 4 + 7) = (-4, 11).
Per trobar Q, desfem la translació des de R: Q = R - (-4, 7) = (2 + 4, 2 - 7) = (6, -5).
Comprovació: Q + (-4, 7) = (2, 2) = R.

a) Falsa. La simetria axial inverteix l'orientació: l'ordre dels vèrtexs ABC passa de recórrer-se en sentit horari a antihorari, com en un mirall.
b) Certa. Tots els moviments (translacions, girs i simetries) són isometries: conserven les distàncies entre punts.
c) Certa. Com que es conserven les longituds dels costats i els angles, la figura és congruent amb l'original i té la mateixa àrea.

En cada vèrtex els angles han de sumar 360°.
Només octàgons: $\tfrac{360}{135}$ no és enter (2 octàgons sumen 270° i 3 sumen 405°), per tant no es pot.
Octàgons i quadrats: 135° + 135° + 90° = 360°. A cada vèrtex hi ha 2 octàgons i 1 quadrat, i sí que és possible. És un mosaic semiregular molt comú en paviments.

En un paral·lelogram els vectors AB i DC són iguals: AB = (4, 1), per tant D = C - AB = (5 - 4, 4 - 1) = (1, 3).
Un paral·lelogram té simetria central respecte al punt on es tallen les diagonals, que és el punt mig d'AC (i també de BD).
Centre: ($\tfrac{(0 + 5)}{2}$, $\tfrac{(0 + 4)}{2}$) = (2,5; 2).
Comprovació amb BD: ($\tfrac{(4 + 1)}{2}$, $\tfrac{(1 + 3)}{2}$) = (2,5; 2).