Exercicis de nombres reals — Matemàtiques 3r ESO

Racional: és el decimal exacte de la fracció $\tfrac{1}{2}$.

$5^{0}$ = 1: qualsevol nombre elevat a 0 fa 1.

No exacta: $\sqrt{10}$ = 3,16..., un nombre irracional.

0,75 = 75/100. Dividim numerador i denominador entre 25 (el màxim comú divisor).
0,75 = 3/4.
Comprovació: 3 : 4 = 0,75.

$\tfrac{2}{5}$ és una fracció: racional.
$\sqrt{49}$ = 7 és un enter: racional.
$\sqrt{12}$ no és exacta (≈ 3,46…) i no es pot escriure com a fracció: irracional.
0,333… és periòdic i val $\tfrac{1}{3}$: racional.

Movem la coma 7 llocs cap a l'esquerra fins a tenir una sola xifra davant de la coma: 4,5.
45 000 000 = 4,5 · $10^{7}$.

$(-2)^{4}$ = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16, perquè la base és -2 i l'exponent parell elimina el signe.
-$2^{4}$ = -($2^{4}$) = -16, perquè l'exponent només afecta el 2.
Error típic: oblidar els parèntesis i confondre les dues expressions.

$\sqrt{144}$ = 12, perquè $12^{2}$ = 144.
$\sqrt{25}$ = 5, perquè $5^{2}$ = 25.
Suma: 12 + 5 = 17.

Les centèsimes són la segona xifra decimal: 3,45|67.
La xifra següent és un 6 (≥ 5), per tant s'augmenta la darrera xifra que es conserva.
3,4567 ≈ 3,46.

L'exponent -3 vol dir que la coma es desplaça 3 llocs cap a l'esquerra.
5,2 · $10^{-3}$ = 0,0052.

Primer 2 · 3 = 6, després 10 - 6 = 4.

Irracional: $\sqrt{5}$ = 2,2360..., té infinites xifres decimals que no es repeteixen i no es pot escriure com una fracció exacta.

Mateixa base i producte: se sumen els exponents. $3^{2}$ · $3^{3}$ = $3^{5}$.

$5^{2}$ = 25 i $6^{2}$ = 36, i 25 < 30 < 36, per tant $\sqrt{30}$ està entre 5 i 6.

Sigui x = 2,666… Multipliquem per 10: 10x = 26,666…
Restem: 10x - x = 26,666… - 2,666… = 24, és a dir, 9x = 24.
x = 24/9 = 8/3.
Comprovació: 8 : 3 = 2,666…

El mínim comú múltiple de 4, 6 i 3 és 12.
3/4 = 9/12; 5/6 = 10/12; 1/3 = 4/12.
9/12 + 10/12 - 4/12 = 15/12 = 5/4.

Al numerador, mateixa base: es sumen els exponents, 2^{5 + (-2)} = 2³.
Al quocient, mateixa base: es resten els exponents, 2^{3 - 4} = 2^-1.
2^-1 = 1/2.
Comprovació: (32 · 1/4) / 16 = 8/16 = 1/2.

Multipliquem els coeficients i sumem els exponents: 3 · 4 = 12 i 10^{5 + (-2)} = $10^{3}$.
Queda 12 · $10^{3}$, però 12 no és entre 1 i 10.
12 · $10^{3}$ = 1,2 · $10^{4}$.

Descomposem 150 = 25 · 6, amb 25 quadrat perfecte.
$\sqrt{150}$ = $\sqrt{25}$ · $\sqrt{6}$ = 5$\sqrt{6}$.
Comprovació: 5$\sqrt{6}$ ≈ 5 · 2,449 = 12,25 i $\sqrt{150}$ ≈ 12,25.

Temps = distància / velocitat = $\tfrac{(4{,}2 \cdot 10^{13})}{(3 \cdot 10^{5})}$.
Dividim coeficients: $\tfrac{4{,}2}{3} = 1{,}4$. Restem exponents: 13 - 5 = 8.
t = 1,4 · $10^{8}$ s (uns 4,4 anys).

Error absolut = |valor real - valor mesurat| = |12,5 - 12,3| = 0,2 m.
Error relatiu = error absolut / valor real = 0,2 / 12,5 = 0,016.
En percentatge: 1,6 %.

Parèntesi: 3 + 2 = 5. Potència: $5^{2}$ = 25. Multiplicació: 4 · 5 = 20. Resta: 25 - 20 = 5.

L'exponent negatiu és l'invers: 2⁻² = 1/2² = 1/4.

72 = 36 · 2 i $\sqrt{36}$ = 6, per tant $\sqrt{72}$ = 6 · $\sqrt{2}$.

Un exponent negatiu inverteix la fracció: (2/3)^-2 = (3/2)² = 9/4.
(3/4)² = 9/16.
Producte: 9/4 · 9/16 = 81/64.
Ja és irreductible perquè 81 = 3⁴ i 64 = 2⁶ no comparteixen factors.

$\tfrac{2}{3} \approx 0{,}667$; 0,7 = 0,700; $\sqrt{0,5}$ ≈ 0,707; 0,68 = 0,680.
Ordenats: 0,667 < 0,680 < 0,700 < 0,707.
Resposta: $\tfrac{2}{3}$ < 0,68 < 0,7 < $\sqrt{0,5}$.

$\sqrt{18}$ = $\sqrt{9\cdot 2}$ = 3$\sqrt{2}$; $\sqrt{50}$ = $\sqrt{25\cdot 2}$ = 5$\sqrt{2}$; $\sqrt{8}$ = $\sqrt{4\cdot 2}$ = 2$\sqrt{2}$.
Ara tots els radicals són semblants: 3$\sqrt{2}$ + 5$\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{2}$ = (3 + 5 - 2)$\sqrt{2}$ = 6$\sqrt{2}$.
Error típic: sumar els radicands ($\sqrt{18}$ + $\sqrt{50}$ no és $\sqrt{68}$).

Sigui x = 1,2333… Multipliquem per 100 i per 10: 100x = 123,333… i 10x = 12,333…
Restem: 100x - 10x = 123,333… - 12,333… = 111, per tant 90x = 111.
x = 111/90 = 37/30.
Comprovació: 37 : 30 = 1,2333…

Després del llibre li queda 1 - 1/4 = 3/4 dels estalvis.
Després de la roba li queda 3/5 d'aquests 3/4: 3/5 · 3/4 = 9/20 dels estalvis.
Així 9/20 de l'import total = 45 €, per tant total = 45 · 20 / 9 = 100 €.
Comprovació: 100 - 25 = 75; 75 - 30 = 45.

És fals.
Contraexemple: $\sqrt{2}$ i -$\sqrt{2}$ són irracionals, però $\sqrt{2}$ + (-$\sqrt{2}$) = 0, que és racional.
Un altre: (2 + $\sqrt{3}$) + (2 - $\sqrt{3}$) = 4. Per tant, la suma de dos irracionals pot ser racional.