Exercicis de geometria — Matemàtiques 3r ESO

2/4 = 5/b', per tant b' = 10.

h = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5.

En unitats cúbiques (per exemple cm cúbics o metres cúbics).

Àrea del triangle = (base · altura)/2 = (10 · 6)/2.
= 60/2 = 30 cm².
Error típic: oblidar dividir entre 2.

La longitud és L = 2πr = 2 · 3,14 · 5.
L = 31,4 cm.

L'àrea del cercle és A = πr² = 3,14 · $4^{2}$ = 3,14 · 16.
A = 50,24 cm².
Error típic: multiplicar π per 2 i pel radi (això és la longitud, no l'àrea).

Pel teorema de Pitàgores, c² = a² - b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
c = √144 = 12 cm.
Comprovació: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13².

Volum: V = $a^{3}$ = $4^{3}$ = 64 cm³.
El cub té 6 cares quadrades de 4 · 4 = 16 cm²: A = 6 · 16 = 96 cm².

Una translació suma les components del vector a les coordenades del punt: (1 + 3, 4 + (-2)).
El punt transformat és A'(4, 2).

La simetria axial respecte l'eix X conserva l'abscissa i canvia el signe de l'ordenada.
El simètric de (3, -5) és (3, 5).

Raó $\tfrac{12}{3} = 4$; el 5 es correspon amb 5 · 4 = 20.

1/0,8 = altura/20, per tant altura = 20/0,8 = 25 m.

6 · 100000 = 600000 cm = 6000 m = 6 km.

V = (12 · 6)/3 = 72/3 = 24 cm cúbics.

Volum: V = ($\tfrac{1}{3}$)πr²h = ($\tfrac{1}{3}$) · 3,14 · 9 · 4 = 37,68 cm³.
La generatriu és la hipotenusa del triangle rectangle de catets r i h: g = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{25}$ = 5 cm.

V = ($\tfrac{4}{3}$)πr³ = ($\tfrac{4}{3}$) · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9.
V = 113,04 cm³.

Volum: V = 5 · 3 · 2 = 30 cm³.
Àrea total = 2(5·3 + 5·2 + 3·2) = 2(15 + 10 + 6) = 62 cm².

Pel teorema de Tales: AD/AB = AE/AC amb AB = 4 + 2 = 6.
4/6 = 6/AC, per tant AC = 6 · 6 / 4 = 9 cm.
EC = AC - AE = 9 - 6 = 3 cm.
Comprovació: DB/AD = EC/AE → 2/4 = 3/6.

L'escala, la paret i el terra formen un triangle rectangle amb hipotenusa 2,5 m i un catet 1,5 m.
$h^{2}$ = $2{,}5^{2}$ - $1{,}5^{2}$ = 6,25 - 2,25 = 4.
h = 2 m.

Els volums es relacionen amb el cub de la raó de semblança: $2^{3}$ = 8.
$V_{\mathrm{gran}}$ = 30 · 8 = 240 cm³.
Error típic: multiplicar només per 2.

C és el punt mitjà entre A i A', així que A' = 2C - A.
A' = (2 · 1 - 4, 2 · 1 - 2) = (-2, 0).
Comprovació: el punt mitjà de A(4, 2) i A'(-2, 0) és ($\tfrac{(4 - 2)}{2}$, $\tfrac{(2 + 0)}{2}$) = (1, 1).

La diagonal és la hipotenusa d'un triangle amb catets 9 i 12: $\sqrt{81 + 144}$ = $\sqrt{225}$ = 15 cm.

Les àrees es multipliquen per la raó al quadrat: $3^{2}$ = 9. Àrea gran = 4 · 9 = 36 cm quadrats.

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 cm cúbics.

Diagonal de la base: d² = 6² + 3² = 45.
Diagonal de l'ortoedre: D² = d² + 2² = 45 + 4 = 49 (equival a D² = 6² + 3² + 2²).
D = √49 = 7 cm.

L'apotema és la hipotenusa del triangle rectangle d'altura 4 i meitat de la base 3: a = $\sqrt{4^{2} + 3^{2}}$ = 5 cm.
Àrea lateral: 4 triangles de base 6 i altura 5: 4 · $\tfrac{(6 \cdot 5)}{2} = 60$ cm². Àrea de la base: 36 cm². Àrea total: 96 cm².
Volum: V = ($\tfrac{1}{3}$) · 36 · 4 = 48 cm³.

Volum: V = πr²h = 3,14 · 1 · 2 = 6,28 $\text{m}^{3}$. Com que 1 $\text{m}^{3}$ = 1000 L, la capacitat és 6280 L.
Àrea total: A = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 1 · (1 + 2) = 18,84 $\text{m}^{2}$.

Perímetre del primer: 6 + 8 + 10 = 24 cm. Raó de semblança: $\tfrac{60}{24} = 2{,}5$.
Costats del segon: 15 cm, 20 cm i 25 cm.
El primer és rectangle ($6^{2}$ + $8^{2}$ = $10^{2}$): àrea = 6 · $\tfrac{8}{2} = 24$ cm²; el segon: 15 · $\tfrac{20}{2} = 150$ cm².
Raó d'àrees: $\tfrac{150}{24} = 6{,}25$ = $2{,}5^{2}$.

El volum d'aigua desplaçat és el de la bola: V = (4/3)π · 3³ = 36π cm³.
Aquest volum és el d'un cilindre de radi 5 i altura h: π · 5² · h = 25πh.
25πh = 36π → h = 36/25 = 1,44 cm.
El nivell puja 1,44 cm.

Cub d'aresta 3 cm: àrea 6 · 9 = 54 cm² i volum 27 cm³.
Cub d'aresta 6 cm: àrea 6 · 36 = 216 cm² i volum 216 cm³.
L'àrea es multiplica per $2^{2}$ = 4 (54 → 216) i el volum per $2^{3}$ = 8 (27 → 216).
Per tant, el volum no es dobla: es multiplica per 8.