Exercicis de gravitació universal — Física i Química 4t ESO

El pes és la força amb què l'astre atrau el cos: P = m·g.
A la Terra: P = 80·9,8 = 784 N.
A la Lluna: P = 80·1,6 = 128 N, unes 6 vegades menys.
La massa no canvia: continua sent 80 kg a qualsevol lloc, perquè és la quantitat de matèria del cos.

Massa: m = P/g = 490/9,8 = 50 kg.
A Mart la massa continua sent 50 kg, però el pes és P = m·g = 50·3,7 = 185 N.
Comprovació: 185/490 = 0,38, la mateixa proporció que hi ha entre els valors de g (3,7/9,8 = 0,38).

a) Fals: la massa és la mateixa a tot arreu; el que canvia és el pes.
b) Cert: el pes és una força i es mesura en newtons (la massa, en kg).
c) Fals: un dinamòmetre mesura forces, o sigui, el pes. La massa es mesura amb una balança de braços, que dona el mateix resultat a la Terra i a la Lluna.
d) Cert: P = m·g i el valor de g depèn de la massa i del radi de l'astre.

Llei de la gravitació universal: F = G·$m_{1}$·$\tfrac{m_{2}}{r^{2}}$.
F = 6,67·$10^{-11}$·60·$\tfrac{80}{2^{2}} = 6{,}67$·$10^{-11}$·$\tfrac{4800}{4} = 8{,}0$·$10^{-8}$ N.
No la notem perquè és extremadament petita: el pes de la persona de 60 kg és 60·9,8 = 588 N, unes 7·$10^{9}$ vegades més gran.
La força gravitatòria només és apreciable quan almenys una de les masses és enorme, com la d'un planeta.

La força és F = G·$m_{1}$·$\tfrac{m_{2}}{r^{2}}$: és proporcional a cada massa i inversament proporcional al quadrat de la distància.
a) r passa a 2r → F queda dividida per $2^{2}$ = 4, o sigui $\tfrac{F}{4}$.
b) r passa a $\tfrac{r}{2}$ → F es multiplica per $2^{2}$ = 4, o sigui 4F.
c) $m_{1}$ passa a 3m₁ → F es multiplica per 3, o sigui 3F.

La intensitat del camp gravitatori a la superfície és g = G·M/R².
g = 6,67·10^-11·5,97·10²⁴/(6,37·10⁶)² = 3,982·10¹⁴/4,058·10¹³ = 9,81 m/s².
Coincideix amb el valor conegut de 9,8 m/s².

a) 1a llei (llei de les òrbites): les trajectòries són el·lipses i el Sol ocupa un dels dos focus.
b) 2a llei (llei de les àrees): el planeta va més de pressa quan és a prop del Sol i més a poc a poc quan n'és lluny.
c) 3a llei (llei dels períodes): el quadrat del període és proporcional al cub del radi mitjà de l'òrbita; per això Neptú triga molt més que Mercuri a fer una volta al Sol.

Les marees les provoca sobretot l'atracció gravitatòria de la Lluna (i, en menor grau, la del Sol) sobre l'aigua dels oceans.
L'atracció és més forta al costat de la Terra que mira a la Lluna que al centre de la Terra, i més feble al costat oposat; això forma dues protuberàncies d'aigua, una a cada banda.
Com que la Terra gira, en cada lloc hi ha dues marees altes i dues de baixes en poc més d'un dia: entre dues marees altes consecutives passen unes 12 h 25 min.

La velocitat orbital és v = $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r}}$, on r és el radi de l'òrbita.
Si r augmenta, el quocient G·M/r disminueix i, per tant, la velocitat orbital disminueix.
El període és T = 2π·r/v: el satèl·lit recorre una òrbita més llarga (r més gran) i ho fa més a poc a poc (v més petita), així que el període augmenta.
Per això un satèl·lit geoestacionari, molt alt, triga 24 h a fer una volta i un de baix en triga només una hora i mitja.

P = m·g amb m = 50 kg (la massa és la mateixa a tot arreu).
Lluna: 50·1,6 = 80 N; Mart: 50·3,7 = 185 N; Venus: 50·8,9 = 445 N; Terra: 50·9,8 = 490 N; Júpiter: 50·24,8 = 1240 N.
Ordre de menys a més pes: Lluna < Mart < Venus < Terra < Júpiter.
A Júpiter pesaria unes 2,5 vegades més que a la Terra ($\tfrac{1240}{490} = 2{,}5$).

Llei de la gravitació universal: F = G·M_T·M_L/d².
F = 6,67·10^-11·5,97·10²⁴·7,35·10²²/(3,84·10⁸)² = 2,927·10³⁷/1,475·10¹⁷ = 1,98·10²⁰ N.
Les dues forces valen el mateix, 1,98·10²⁰ N, perquè formen un parell d'acció i reacció (tercera llei de Newton), tot i que les masses són molt diferents.
Error típic: pensar que la Terra atrau la Lluna amb més força que la Lluna a la Terra.

g = G·M/R² = 6,67·10^-11·6,42·10²³/(3,39·10⁶)² = 4,282·10¹³/1,149·10¹³ = 3,73 m/s².
Pes a Mart: P = 60·3,73 = 224 N.
Pes a la Terra: 60·9,8 = 588 N.
A Mart pesaria 224/588 = 0,38 del que pesa a la Terra (un 38 %), tot i que la massa és de 60 kg als dos llocs.

Distància al centre de la Terra: r = R + h = 6,37·10⁶ + 4,00·10⁵ = 6,77·10⁶ m.
g = G·M/r² = 3,982·10¹⁴/(6,77·10⁶)² = 3,982·10¹⁴/4,583·10¹³ = 8,69 m/s².
A la superfície g = 9,81 m/s², així que a l'estació la gravetat és el 8,69/9,81 ≈ 0,89, és a dir, un 89 % de la de la superfície.
La gravetat no desapareix a l'espai: a 400 km d'altura gairebé és igual que a terra.

Radi de l'òrbita: r = R + h = 6,37·$10^{6}$ + 0,63·$10^{6}$ = 7,00·$10^{6}$ m.
La força gravitatòria fa de força centrípeta, d'on v = $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r}}$ = $\sqrt{\tfrac{3{,}982\cdot 10^{14}}{7{,}00\cdot 10^{6}}}$ = $\sqrt{5{,}69\cdot 10^{7}}$ = 7,54·$10^{3}$ m/s (7,54 km/s).
Període: T = 2π·$\tfrac{r}{v} = 2$π·7,00·$\tfrac{10^{6}}{7{,}54\cdot 10^{3}}$ = 5,83·$10^{3}$ s, uns 97 minuts.
Comprovació: el satèl·lit fa unes 15 voltes al dia (1440 min/97 min).

Període: T = 24 h = 24·3600 = 86400 s.
Velocitat a partir del període: v = 2π·$\tfrac{r}{T} = 2$π·4,22·$\tfrac{10^{7}}{8640}$0 = 3,07·$10^{3}$ m/s.
Velocitat a partir de la gravitació: v = $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r}}$ = $\sqrt{\tfrac{3{,}982\cdot 10^{14}}{4{,}22\cdot 10^{7}}}$ = $\sqrt{9{,}44\cdot 10^{6}}$ = 3,07·$10^{3}$ m/s.
Els dos valors coincideixen (3,07 km/s).
Com que triga 24 h, igual que la Terra a girar sobre si mateixa, el satèl·lit sempre es veu sobre el mateix punt de l'equador.

Velocitat: v = 1,02 km/s = 1020 m/s.
Longitud de l'òrbita: 2π·r = 2π·3,84·$10^{8}$ = 2,41·$10^{9}$ m.
Període: T = 2π·$\tfrac{r}{v} = 2{,}41$·$\tfrac{10^{9}}{1020} = 2{,}37$·$10^{6}$ s.
En dies: 2,37·$\tfrac{10^{6}}{8640}$0 = 27,4 dies.
És el temps que triga la Lluna a donar una volta completa a la Terra.

g = G·M/R². Si M es multiplica per 6 i R per 2, g queda multiplicada per 6/2² = 6/4 = 1,5.
g = 1,5·9,8 = 14,7 m/s².
Pes: P = 60·14,7 = 882 N (a la Terra seria 588 N).
Error típic: oblidar que el radi apareix al quadrat i dividir només per 2.

El pes és proporcional a g = G·M/r², on r és la distància al centre de la Terra.
Perquè g sigui 4 vegades menor, r² ha de ser 4 vegades més gran, és a dir, r = 2R.
L'altura sobre la superfície és h = r - R = 2R - R = R = 6370 km.
Comprovació: a r = 2R, g = g₀/2² = g₀/4.

Les marees vives es produeixen a Lluna nova i a Lluna plena: el Sol, la Terra i la Lluna estan alineats i les atraccions del Sol i de la Lluna se sumen.
Les marees mortes es produeixen als quarts creixent i minvant: vistos des de la Terra, la Lluna i el Sol formen un angle de 90° i les seves atraccions es contrarresten en part.
El cicle es repeteix cada mes: entre una marea viva i la següent passen unes dues setmanes.

La segona llei diu que el radi vector que uneix el Sol amb el planeta escombra àrees iguals en temps iguals.
Quan el planeta és a prop del Sol, el radi vector és més curt; per escombrar la mateixa àrea en el mateix temps ha de recórrer un arc més llarg.
Per tant, la Terra es mou més de pressa a començaments de gener (periheli) que a començaments de juliol (afeli).
La diferència és petita perquè l'òrbita és gairebé circular.

Velocitat orbital: v = $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r}}$ = $\sqrt{\tfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot 10^{23}}{9{,}38\cdot 10^{6}}}$ = $\sqrt{4{,}565\cdot 10^{6}}$ = 2,14·$10^{3}$ m/s.
Període: T = 2π·$\tfrac{r}{v} = 2$π·9,38·$\tfrac{10^{6}}{2{,}14\cdot 10^{3}}$ = 2,76·$10^{4}$ s.
En hores: 2,76·$\tfrac{10^{4}}{3600} = 7{,}66$ h.
Aquest satèl·lit natural dona més de 3 voltes a Mart cada 24 h ($\tfrac{24}{7{,}66} = 3{,}1$).

a) Distància al centre: r = 6,37·10⁶ + 4,00·10⁵ = 6,77·10⁶ m.
F = G·M·m/r² = 6,67·10^-11·5,97·10²⁴·75/(6,77·10⁶)² = 652 N (a la superfície seria uns 736 N).
b) L'afirmació és falsa: a l'estació la gravetat és gairebé el 89 % de la de la superfície.
Floten perquè l'estació i els astronautes cauen lliurement junts al voltant de la Terra, amb la mateixa acceleració, i per tant no hi ha cap força de contacte entre ells i l'estació: és ingravidesa aparent.
Si no hi hagués gravetat, l'estació sortiria disparada en línia recta en lloc d'orbitar.

a) Les dues forces són F = G·M·$\tfrac{M_{\mathrm{Terra}}}{d^{2}}$, amb la mateixa G i la mateixa $M_{\mathrm{Terra}}$, així que $F_{\mathrm{Sol}}$/$F_{\mathrm{Lluna}}$ = ($M_{\mathrm{Sol}}$/$M_{\mathrm{Lluna}}$)·$(d_{\mathrm{Lluna}}/d_{\mathrm{Sol}})^{2}$.
= (1,99·$\tfrac{10^{30}}{7{,}35\cdot 10^{22}}$)·$(3{,}84\cdot \tfrac{10^{8}}{1{,}50\cdot 10^{11}})^{2}$ = 2,71·$10^{7}$·6,55·$10^{-6}$ = 177.
L'atracció del Sol sobre la Terra és unes 177 vegades més gran que la de la Lluna.
b) Les marees no depenen de l'atracció total, sinó de la diferència d'atracció entre el costat proper i el costat llunyà de la Terra. Aquesta diferència disminueix amb el cub de la distància, i la Lluna és unes 390 vegades més a prop que el Sol.
Per això, malgrat la seva petita massa, la Lluna produeix marees unes dues vegades més grans que les del Sol.

La velocitat orbital és v = √(G·M/r): depèn de r com 1/√r.
Si r_B = 4r_A: v_B = v_A/√4 = v_A/2. La velocitat de B és 2 vegades menor.
El període és T = 2π·r/v: T_B/T_A = (r_B/r_A)·(v_A/v_B) = 4·2 = 8.
El període de B és 8 vegades més gran. Concorda amb la tercera llei de Kepler: T² és proporcional a r³, i 4³ = 64 = 8².

a) Igualem $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r}}$ = 2π·r/T i elevem al quadrat: G·$\tfrac{M}{r} = 4$π²·$\tfrac{r^{2}}{T^{2}}$ → $r^{3}$ = G·M·$T^{2}$/(4π²).
Amb T = 86400 s: $r^{3}$ = 6,67·$10^{-11}$·5,97·$10^{24}$·86400²/(4π²) = 7,53·$10^{22}$ $\text{m}^{3}$.
r = (7,53·$10^{22}$)^{$\tfrac{1}{3}$} = 4,22·$10^{7}$ m.
b) Altura: h = r - R ≈ 4,22·$10^{7}$ - 6,37·$10^{6}$ ≈ 3,58·$10^{7}$ m, és a dir, uns 36000 km.
Només a aquesta altura, i sobre l'equador, el període és de 24 h.

Prenem la Terra com a referència: T = 1 any i r = 1 (distància Terra-Sol). Aleshores $T^{2}$ = $r^{3}$, amb T en anys i r en vegades la distància Terra-Sol.
a) r = 4 → $T^{2}$ = $4^{3}$ = 64 → T = 8 anys.
b) T = 27 anys → $r^{3}$ = $27^{2}$ = 729 → r = 9 vegades la distància Terra-Sol.
Com més lluny és el planeta, més gran és el període, i ho és més que proporcionalment (si r es multiplica per 4, T es multiplica per 8).

Velocitat inicial del salt (a l'altura màxima v = 0): v₀² = 2·g·h = 2·9,8·0,50 = 9,8 → v₀ = 3,13 m/s.
A la Lluna: h = v₀²/(2·g_L) = 9,8/(2·1,62) = 3,0 m.
L'altura és inversament proporcional a g: 9,8/1,62 = 6,05, per això salta unes 6 vegades més amunt.
La diferència és deguda a la gravetat: a la Lluna l'acceleració que frena el cos que puja és unes sis vegades menor.

a) F = G·M_S·M_T/r² = 6,67·10^-11·1,99·10³⁰·5,97·10²⁴/(1,50·10¹¹)² = 7,92·10⁴⁴/2,25·10²² = 3,52·10²² N.
b) v = 29,8 km/s = 2,98·10⁴ m/s. F_c = M_T·v²/r = 5,97·10²⁴·(2,98·10⁴)²/1,50·10¹¹ = 3,53·10²² N.
Els dos valors coincideixen (la diferència és inferior a l'1 % i es deu als arrodoniments).
Això mostra que la força gravitatòria del Sol és la força centrípeta que manté la Terra en òrbita.

La massa és M = ρ·($\tfrac{4}{3}$)π·$R^{3}$, per tant és proporcional a $R^{3}$ (la densitat és la mateixa).
g = G·$\text{M/R}^{2}$ = G·ρ·($\tfrac{4}{3}$)π·$\tfrac{R^{3}}{R^{2}}$ = ($\tfrac{4}{3}$)π·G·ρ·R.
Amb la mateixa densitat, g és directament proporcional al radi.
$R_{B}$ = 2R_A → $\tfrac{g_{B}}{g_{A}} = 2$: a B, g és el doble que a A.
Observa que la massa de B és $2^{3}$ = 8 vegades la d'A, però g només es duplica perquè el radi és al quadrat al denominador.

a) g = G·M/R² = 6,67·10^-11·2,0·10²⁴/(5,0·10⁶)² = 1,334·10¹⁴/2,5·10¹³ = 5,34 m/s².
b) P = m·g = 70·5,34 = 374 N.
c) Radi de l'òrbita: r = 5,0·10⁶ + 5,0·10⁵ = 5,5·10⁶ m. v = √(G·M/r) = √(1,334·10¹⁴/5,5·10⁶) = √(2,43·10⁷) = 4,92·10³ m/s.
d) T = 2π·r/v = 2π·5,5·10⁶/4,92·10³ = 7,02·10³ s, uns 117 minuts.
Comprovació: el pes de 374 N és menor que el de la Terra (70·9,8 = 686 N) perquè g és menor.