Exercicis de cinemàtica — Física i Química 4t ESO

En un moviment rectilini uniforme (MRU), la distància és la velocitat pel temps: d = v·t.
d = 90 km/h · 2 h = 180 km.
Les hores es cancel·len i queda una distància en km.

En un MRUA des del repòs, v = a·t.
v = 3 $\text{m/s}^{2}$ · 4 s = 12 m/s.
El cotxe passa de 0 a 12 m/s en 4 s.

La freqüència és de 2 voltes per segon, és a dir 2 Hz.
El període és l'invers de la freqüència: T = 1/f = 1/2 = 0,5 s.
Cada volta dura mig segon.

Un quilòmetre són 1000 m i una hora són 3600 s, de manera que 1 km/h = 1000/3600 m/s = 1/3,6 m/s.
De km/h a m/s es divideix entre 3,6: 36/3,6 = 10 m/s; 90/3,6 = 25 m/s; 144/3,6 = 40 m/s.
De m/s a km/h es multiplica per 3,6: 5·3,6 = 18 km/h; 12·3,6 = 43,2 km/h; 25·3,6 = 90 km/h.
Comprovació: 90 km/h = 25 m/s i 25 m/s = 90 km/h, les dues conversions són coherents.
Error típic: multiplicar per 3,6 quan cal dividir; recorda que el nombre expressat en m/s sempre és més petit que el mateix expressat en km/h.

La distància recorreguda és la longitud del camí: 300 + 400 = 700 m.
El desplaçament és el segment recte que va del punt de sortida al d'arribada. Com que els dos trams són perpendiculars, són els catets d'un triangle rectangle.
Pitàgores: |Δx| = $\sqrt{300^{2} + 400^{2}}$ = $\sqrt{250000}$ = 500 m.
Error típic: confondre distància i desplaçament; el desplaçament (500 m) és menor que la distància (700 m) perquè el camí no és una recta.

En cada interval de 2 s la posició augmenta el mateix: 17 - 5 = 12 m, 29 - 17 = 12 m i 41 - 29 = 12 m. Com que recorre distàncies iguals en temps iguals, la velocitat és constant i el moviment és un MRU.
Velocitat: v = Δx/Δt = 12/2 = 6 m/s.
Equació: x = x₀ + v·t = 5 + 6·t (x en m i t en s).
Comprovació: per a t = 6 s, x = 5 + 6·6 = 41 m, que coincideix amb la dada.

a) MRU: trajectòria recta i velocitat constant (acceleració nul·la).
b) MRUA: trajectòria recta i acceleració constant, la de la gravetat (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$).
c) MCU: trajectòria circular i rapidesa constant (una volta cada 60 s).
d) MRUA: trajectòria recta i acceleració constant, però negativa (la velocitat disminueix).
Clau: MRU i MRUA són moviments rectilinis; el que els distingeix és si la velocitat és constant o varia de manera uniforme.

És una caiguda lliure: $v_{0}$ = 0 i a = g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$.
Altura: h = ($\tfrac{1}{2}$)·g·$t^{2}$ = 0,5·9,8·$3^{2}$ = 44,1 m.
Velocitat d'arribada: v = g·t = 9,8·3 = 29,4 m/s (cap avall).
Comprovació: $v^{2}$ = 2·g·h = 2·9,8·44,1 = 864,36, i $29{,}4^{2}$ = 864,36.

És un moviment uniformement accelerat: v = v₀ + a·t. Quan s'atura, v = 0.
0 = 20 + (-4)·t, d'on t = 20/4 = 5 s.
Comprovació: v = 20 - 4·5 = 0 m/s.
Error típic: oblidar el signe negatiu de l'acceleració; és negativa perquè va en sentit contrari al moviment.

El període és T = 60 s.
Velocitat angular: ω = 2π/T = 2π/60 = $\tfrac{\pi}{30} \approx 0{,}105$ rad/s.
Velocitat lineal: v = ω·R = ($\tfrac{\pi}{30}$)·15 = $\tfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ m/s (uns 5,7 km/h).
Comprovació: v = 2π·$\tfrac{R}{T} = 2$π·$\tfrac{15}{60} = 1{,}57$ m/s.

Primer fixo el sistema de referència: origen a A i sentit positiu de A cap a B. Així totes les posicions són distàncies mesurades des d'A.
La corredora 1 surt d'A (posició 0) i avança en sentit positiu: $x_{1}$ = 6 · t.
La corredora 2 surt de B (posició 300 m) i avança en sentit negatiu (va cap a A), per això la seva velocitat resta: $x_{2}$ = 300 - 4 · t. Aquí hi ha el parany: si no poses el signe menys, planteges malament el problema.
Es troben quan ocupen la mateixa posició, $x_{1}$ = $x_{2}$: 6 · t = 300 - 4 · t.
Agrupo els termes del temps: 10 · t = 300, d'on t = 30 s.
La posició del punt de trobada: $x_{1}$ = 6 · 30 = 180 m des d'A (i, comprovant, $x_{2}$ = 300 - 4 · 30 = 180 m; coincideixen).
Es troben als 30 s, a 180 m del poble A.

Com que no dono el temps, faig servir l'equació sense temps: v² = v₀² + 2 · a · e.
Substitueixo les dades (v = 30 m/s, v₀ = 10 m/s, e = 200 m): 30² = 10² + 2 · a · 200.
Calculo els quadrats: 900 = 100 + 400 · a.
Aïllo: 800 = 400 · a, d'on a = 2 m/s².
Aquesta equació és útil precisament quan no tens ni et demanen el temps; relaciona velocitats i espai directament.

L'acceleració és el pendent de la recta velocitat-temps: quant puja la velocitat dividit pel temps que triga.
Dels 0 als 4 s: a = (20 - 0) / 4 = 5 m/s².
L'espai és l'àrea sota la gràfica. La divideixo en dos trossos.
Dels 0 als 4 s la gràfica és un triangle (la velocitat puja): àrea = (1/2) · 4 · 20 = 40 m.
Dels 4 als 10 s (6 s) la velocitat és constant: la gràfica és un rectangle d'alçada 20 i base 6: àrea = 20 · 6 = 120 m.
Espai total = 40 + 120 = 160 m.
El parany habitual és confondre les dues lectures: el pendent dona l'acceleració, i l'àrea dona l'espai.

Perquè canvia la direcció de la velocitat (sempre gira). L'acceleració apunta cap al centre (centrípeta).

Temps del primer tram: t₁ = 60/90 = 2/3 h (40 min). Temps del segon tram: t₂ = 60/60 = 1 h.
Temps total: 2/3 + 1 = 5/3 h (1 h 40 min). Distància total: 60 + 60 = 120 km.
Velocitat mitjana: v_m = 120/(5/3) = 72 km/h.
La mitjana aritmètica seria (90 + 60)/2 = 75 km/h, que no coincideix: l'autobús passa més temps a la velocitat més baixa i per això la mitjana real és menor.
Error típic: fer la mitjana de les velocitats; la velocitat mitjana és sempre la distància total entre el temps total.

Prenem el sentit positiu cap amunt: v = v₀ - g·t. Al punt més alt, v = 0.
Temps de pujada: t = v₀/g = 19,6/9,8 = 2 s.
Altura màxima: h = v₀·t - (1/2)·g·t² = 19,6·2 - 0,5·9,8·2² = 39,2 - 19,6 = 19,6 m.
La baixada és simètrica: triga altres 2 s i la pilota torna al punt de llançament amb la mateixa rapidesa amb què va sortir, 19,6 m/s, però cap avall.
Comprovació: h = v₀²/(2·g) = 19,6²/19,6 = 19,6 m.

La velocitat és el pendent de la gràfica x-t: v = Δx/Δt.
Tram 1 (0-10 s): v = $\tfrac{(50 - 0)}{10} = 5$ m/s.
Tram 2 (10-20 s): la posició no canvia, v = 0 (està aturat).
Tram 3 (20-40 s): v = $\tfrac{(0 - 50)}{20}$ = -2,5 m/s (el signe negatiu indica que torna cap al punt de partida).
Distància recorreguda: 50 m d'anada + 50 m de tornada = 100 m.
Desplaçament total: $x_{\mathrm{final}}$ - $x_{\mathrm{inicial}}$ = 0 - 0 = 0 m.
Error típic: confondre la distància (100 m) amb el desplaçament (0 m).

Passem la velocitat al SI: 36 km/h = 36/3,6 = 10 m/s.
Velocitat angular: ω = v/R = 10/20 = 0,5 rad/s.
Període: T = 2π/ω = 2π/0,5 = 12,6 s (és el temps d'una volta completa).
Acceleració centrípeta: a_c = v²/R = 10²/20 = 5 m/s², dirigida cap al centre de la rotonda.
Comprovació: a_c = ω²·R = 0,5²·20 = 5 m/s².

Prenem el sentit positiu cap avall: v₀ = 4,9 m/s, a = g = 9,8 m/s² i Δy = 29,4 m.
No coneixem el temps, així que fem servir v² = v₀² + 2·g·Δy = 4,9² + 2·9,8·29,4 = 24,01 + 576,24 = 600,25.
v = √600,25 = 24,5 m/s.
Temps: v = v₀ + g·t, d'on t = (24,5 - 4,9)/9,8 = 2 s.
Comprovació: Δy = v₀·t + (1/2)·g·t² = 4,9·2 + 0,5·9,8·2² = 9,8 + 19,6 = 29,4 m.

En cada interval de 2 s la velocitat augmenta el mateix: 10 - 4 = 6, 16 - 10 = 6 i 22 - 16 = 6 m/s. L'acceleració és constant, per tant és un MRUA.
Acceleració: a = Δv/Δt = 6/2 = 3 m/s².
Distància: x = v₀·t + (1/2)·a·t² = 4·6 + 0,5·3·6² = 24 + 54 = 78 m.
Comprovació: en un MRUA la velocitat mitjana és la mitjana de la inicial i la final, (4 + 22)/2 = 13 m/s, i 13·6 = 78 m.

Passem a m/s: 54 km/h = 15 m/s i 108 km/h = 30 m/s.
Com que no ens donen el temps, fem servir v² = v₀² + 2·a·d amb v = 0, d'on d = v₀²/(2·|a|).
A 15 m/s: d = 15²/(2·5) = 225/10 = 22,5 m.
A 30 m/s: d = 30²/(2·5) = 900/10 = 90 m.
90/22,5 = 4: si la velocitat es duplica, la distància de frenada es multiplica per 4, perquè depèn del quadrat de la velocitat.

Sistema de referència: origen a la parada, sentit del moviment positiu. Mesuro el temps t a partir de l'instant en què surt la moto (així és més senzill).
Quan la moto arrenca, l'autobús ja fa 8 s que roda, així que porta un avantatge de 15 · 8 = 120 m. A partir d'aquí segueix avançant: x_bus = 120 + 15 · t. El parany és oblidar aquest avantatge inicial.
La moto surt de l'origen: x_moto = 25 · t.
L'atrapa quan x_moto = x_bus: 25 · t = 120 + 15 · t.
Agrupo: 10 · t = 120, d'on t = 12 s (mesurats des que surt la moto).
Distància: x_moto = 25 · 12 = 300 m.
Comprovació: l'autobús ha rodat en total 12 + 8 = 20 s, i 15 · 20 = 300 m; coincideix.
La moto l'atrapa 12 s després de sortir, a 300 m de la parada.

Primer, unitats: passo la velocitat a m/s abans de calcular res, 72 / 3,6 = 20 m/s. Barrejar km/h amb m/s seria el primer parany.
Fase de reacció (0,5 s): el cotxe encara no frena, va a velocitat constant, és un MRU: e₁ = 20 · 0,5 = 10 m.
Fase de frenada (MRUA amb a = -5 m/s²): primer el temps fins a aturar-se, 0 = 20 + (-5) · t, d'on t = 4 s.
Espai de frenada: e₂ = 20 · 4 + (1/2) · (-5) · 16 = 80 - 40 = 40 m.
Distància total = e₁ + e₂ = 10 + 40 = 50 m.
El parany de fons és no comptar la distància de reacció: durant el temps de reacció el cotxe ja recorre 10 m sense frenar.

L'acceleració de cada tram és el pendent de la recta en aquell tram.
Tram 1 (0 a 6 s), arrencada: a₁ = (18 - 0) / 6 = 3 m/s².
Tram 2 (6 a 16 s), velocitat constant: no canvia la velocitat, a₂ = 0.
Tram 3 (16 a 19 s), frenada: a₃ = (0 - 18) / 3 = -6 m/s². El signe negatiu és el parany: en frenar l'acceleració és contrària al moviment.
L'espai és l'àrea total sota la gràfica, sumant les tres figures.
Tram 1, triangle: (1/2) · 6 · 18 = 54 m.
Tram 2, rectangle d'alçada 18 i base 10: 10 · 18 = 180 m.
Tram 3, triangle: (1/2) · 3 · 18 = 27 m.
Espai total = 54 + 180 + 27 = 261 m.

Prenem l'origen al punt de partida i t = 0 quan passa el cotxe.
Cotxe (MRU): $x_{c}$ = 20·t. Policia (MRUA des del repòs): $x_{p}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·2·$t^{2}$ = $t^{2}$.
L'atrapa quan $x_{c}$ = $x_{p}$: 20·t = $t^{2}$, d'on t = 0 (la sortida) o t = 20 s.
Posició: x = 20·20 = 400 m (comprovació: $20^{2}$ = 400 m).
Velocitat del policia: v = a·t = 2·20 = 40 m/s (144 km/h), el doble de la del cotxe perseguit.
Error típic: pensar que l'atrapa quan tenen la mateixa velocitat (t = 10 s); aleshores és quan la distància entre ells és màxima, no zero.

Prenem l'origen al terra i el sentit positiu cap amunt. Pilota 1: $y_{1}$ = 20·t - 4,9·$t^{2}$. Pilota 2: $y_{2}$ = 40 - 4,9·$t^{2}$.
Es troben quan $y_{1}$ = $y_{2}$: 20·t - 4,9·$t^{2}$ = 40 - 4,9·$t^{2}$. Els termes en $t^{2}$ s'anul·len (les dues tenen la mateixa acceleració) i queda 20·t = 40, d'on t = 2 s.
Altura: y = 40 - 4,9·$2^{2}$ = 40 - 19,6 = 20,4 m (comprovació: $y_{1}$ = 20·2 - 19,6 = 20,4 m).
En aquest instant la primera pilota encara puja ($v_{1}$ = 20 - 9,8·2 = 0,4 m/s) i la segona baixa a $v_{2}$ = -19,6 m/s.

Prenem l'origen a la posició inicial del cotxe. Cotxe (MRUA): x_c = 30·t - (1/2)·2·t² = 30·t - t². Camió (MRU): x_k = 30 + 20·t.
Hi hauria xoc si x_c = x_k: 30·t - t² = 30 + 20·t, és a dir t² - 10·t + 30 = 0.
Discriminant: 10² - 4·30 = -20 < 0. No hi ha cap solució real: no hi ha xoc.
La distància entre ells és d(t) = x_k - x_c = t² - 10·t + 30, que és mínima quan les velocitats s'igualen: 30 - 2·t = 20, t = 5 s.
Distància mínima: d(5) = 25 - 50 + 30 = 5 m.

a) T = 24 h = 86400 s; ω = 2π/T = 2π/86400 = 7,27·$10^{-5}$ rad/s (la mateixa per a tots els punts de la Terra).
b) A l'equador: v = ω·R = 7,27·$10^{-5}$·6,37·$10^{6}$ = 463 m/s (uns 1670 km/h).
c) A Vic: v = ω·r = 7,27·$10^{-5}$·4,74·$10^{6}$ = 345 m/s (uns 1240 km/h); és menor perquè el radi de gir és menor.
d) $a_{c}$ = $ω^{2}$·R = $(7{,}27\cdot 10^{-5})^{2}$·6,37·$10^{6}$ = 0,0337 $\text{m/s}^{2}$, que és $\tfrac{0{,}0337}{9{,}8} = 0{,}0034$, o sigui un 0,34 % de g.
Tots els punts tenen la mateixa velocitat angular; el que canvia amb la latitud és la velocitat lineal.

Comparem amb x = $x_{0}$ + $v_{0}$·t + ($\tfrac{1}{2}$)·a·$t^{2}$: $x_{0}$ = 0 m, $v_{0}$ = 6 m/s i ($\tfrac{1}{2}$)·a = -1, per tant a = -2 $\text{m/s}^{2}$.
Velocitat: v = 6 - 2·t. S'atura quan v = 0: t = 3 s, i aleshores x = 6·3 - $3^{2}$ = 9 m (és el punt més allunyat).
Torna a x = 0 quan 6·t - $t^{2}$ = 0, és a dir t·(6 - t) = 0, d'on t = 6 s (t = 0 és la sortida).
Velocitat en aquell instant: v = 6 - 2·6 = -6 m/s: passa amb la mateixa rapidesa que va sortir, però en sentit contrari (el signe negatiu indica que va cap al punt de sortida).
Comprovació: l'anada triga 3 s i la tornada altres 3 s, per simetria.

En tots dos casos, perquè acabi el creuament la posició relativa ha de canviar la suma de les llargades: 100 + 150 = 250 m.
a) Sentits oposats: la velocitat relativa és la suma, 20 + 30 = 50 m/s, i t = 250/50 = 5 s.
b) Mateix sentit: la velocitat relativa és la diferència, 30 - 20 = 10 m/s, i t = 250/10 = 25 s.
Comprovació de b): en 25 s, B recorre 30·25 = 750 m i A recorre 20·25 = 500 m; la diferència és 250 m.
Error típic: restar les velocitats quan els trens van en sentits oposats.