Exercicis de calor i temperatura — Física i Química 4t ESO

La relació entre les dues escales és T = t + 273.
25 °C → T = 25 + 273 = 298 K.
-40 °C → T = -40 + 273 = 233 K.
350 K → t = 350 - 273 = 77 °C.
Un salt d'1 °C equival a un salt d'1 K: només canvia el zero de l'escala.

De Celsius a Fahrenheit: °F = 1,8·20 + 32 = 36 + 32 = 68 °F.
De Fahrenheit a Celsius aïllem °C: °C = (°F - 32)/1,8 = (104 - 32)/1,8 = 72/1,8 = 40 °C.
Comprovació: 1,8·40 + 32 = 104 °F.

La temperatura mesura l'agitació mitjana de les partícules d'un cos i s'expressa en °C o en K. La calor és l'energia que passa d'un cos a un altre quan estan a temperatures diferents i s'expressa en J.
Els dos recipients tenen la mateixa temperatura: 50 °C.
No tenen la mateixa energia tèrmica: el de 3 L conté tres vegades més partícules i, per tant, tres vegades més energia. Si es refredessin fins a 20 °C, el de 3 L cediria tres vegades més calor.

Variació de temperatura: ΔT = 70 - 20 = 50 °C.
Q = m·c·ΔT = 2·4180·50 = 418000 J (418 kJ).
En kcal: 418000/4180 = 100 kcal.
Comprovació: 1 kcal escalfa 1 kg d'aigua 1 °C; per escalfar 2 kg d'aigua 50 °C calen 2·50 = 100 kcal.

1 kcal = 1000 cal = 1000·4,18 J = 4180 J = 4,18 kJ.
120 kcal·4,18 kJ/kcal = 501,6 kJ.
L'iogurt aporta uns 502 kJ.

Durant la fusió la temperatura no canvia (0 °C): tota la calor es fa servir per canviar d'estat.
Q = m·$L_{f}$ = 0,5 kg·334 kJ/kg = 167 kJ (167000 J).
Error típic: no passar els 500 g a kg.

Només hi ha canvi d'estat, a temperatura constant (100 °C).
Q = m·$L_{v}$ = 0,2 kg·2260 kJ/kg = 452 kJ.
Quan aquest vapor es condensa, allibera exactament la mateixa quantitat de calor.

Variació de temperatura: ΔT = 120 - 20 = 100 °C.
ΔL = α·$L_{0}$·ΔT = 1,2·$10^{-5}$·2·100 = 2,4·$10^{-3}$ m = 2,4 mm.
Longitud final: 2 + 0,0024 = 2,0024 m.
L'augment és molt petit, però en estructures llargues cal tenir-lo en compte.

a) Conducció: la calor passa d'una partícula a la següent dins del metall, sense transport de matèria.
b) Radiació: la calor arriba en forma d'ones electromagnètiques, que viatgen pel buit de l'espai.
c) Convecció: l'aire calent, menys dens, puja i l'aire fred baixa; la calor es transporta amb el moviment del fluid.
d) Radiació: la llar emet radiació infraroja que absorbeix el cos de la persona.

El rendiment és el quocient entre el treball útil i la calor absorbida: η = W/Q₁.
η = 500/2000 = 0,25, és a dir, un 25 %.
Els altres 1500 J (el 75 %) es cedeixen a l'ambient en forma de calor.

La calor que cedeix l'aigua calenta és la que guanya l'aigua freda: $m_{1}$·c·(80 - T) = $m_{2}$·c·(T - 20).
La calor específica c és la mateixa i se simplifica: 300·(80 - T) = 200·(T - 20).
24000 - 300T = 200T - 4000 → 28000 = 500T → T = 56 °C.
Comprovació: la temperatura final és entre 20 °C i 80 °C, i més a prop de 80 °C perquè hi ha més massa d'aigua calenta.

Calor guanyada per l'aigua: Q = 0,300·4180·(30 - 20) = 12540 J.
Aquesta calor l'ha cedida el metall, que s'ha refredat de 100 °C a 30 °C: ΔT = 70 °C.
Q = m·c·ΔT → 12540 = 0,200·c·70 → c = 12540/14 = 896 J/(kg·°C).
El valor és molt proper al de l'alumini (uns 900 J/(kg·°C)).

Calor necessària: Q = m·c·ΔT = 1,5·4180·80 = 501600 J.
Potència = energia/temps, per tant t = Q/P = 501600/2000 = 250,8 s.
Són uns 251 s, és a dir, poc més de 4 minuts (4,2 min).

Hi ha tres etapes.
1) Escalfar el gel de -10 °C a 0 °C: Q₁ = 0,1·2090·10 = 2090 J.
2) Fondre el gel a 0 °C: Q₂ = m·L_f = 0,1·334000 = 33400 J.
3) Escalfar l'aigua de 0 °C a 20 °C: Q₃ = 0,1·4180·20 = 8360 J.
Total: Q = 2090 + 33400 + 8360 = 43850 J (uns 43,9 kJ).
La fusió és l'etapa que necessita més energia.

Variació de temperatura: ΔT = 60 - 20 = 40 °C.
ΔV = γ·V₀·ΔT = 1,1·10^-3·2,0·40 = 0,088 L.
Volum final: V = 2,0 + 0,088 = 2,088 L, uns 2,09 L.
Per això els recipients de líquids no s'omplen fins a dalt de tot: en escalfar-se, el líquid s'expandeix.

1) Condensació a 100 °C: $Q_{1}$ = m·$L_{v}$ = 0,05·2,26·$10^{6}$ = 113000 J.
2) Refredament de l'aigua líquida de 100 °C a 40 °C: $Q_{2}$ = 0,05·4180·60 = 12540 J.
Calor total alliberada: 113000 + 12540 = 125540 J (uns 125,5 kJ).
Un 90 % de la calor surt en el canvi d'estat: per això una cremada de vapor és més greu que una d'aigua calenta.

Treball útil: W = η·$Q_{1}$ = 0,30·8000 = 2400 J.
Pel principi de conservació de l'energia, $Q_{1}$ = W + $Q_{2}$, per tant $Q_{2}$ = 8000 - 2400 = 5600 J.
La màquina cedeix 5600 J a la font freda, el 70 % de la calor absorbida.

Energia que aporta el combustible: $Q_{1}$ = 5·4,6·$10^{7}$ = 2,3·$10^{8}$ J.
Rendiment: η = $\tfrac{W}{Q_{1}} = 6{,}9$·$\tfrac{10^{7}}{2{,}3\cdot 10^{8}}$ = 0,30, és a dir, un 30 %.
Calor perduda: 2,3·$10^{8}$ - 6,9·$10^{7}$ = 1,61·$10^{8}$ J.
La major part de l'energia del combustible s'escapa pel tub d'escapament i pel sistema de refrigeració.

La calor específica és l'energia que cal per augmentar 1 °C la temperatura d'1 kg de substància: Q = m·c·ΔT, per tant ΔT = Q/(m·c).
L'aigua té una calor específica molt gran (4180 J/(kg·°C)), molt més que la de la sorra (uns 800 J/(kg·°C)).
Amb la mateixa energia rebuda, la temperatura de la sorra puja unes cinc vegades més que la de l'aigua.
A més, l'aigua es mou i es barreja, i reparteix la calor per un volum gran.

Calor que cedeix el coure en refredar-se de 200 °C a 0 °C: Q = 0,5·385·200 = 38500 J.
El gel la rep i la fa servir íntegrament per fondre's (tot és a 0 °C): Q = m·L_f.
m = 38500/334000 = 0,115 kg = 115 g de gel.
Comprovació: 0,115 kg·334 kJ/kg = 38,4 kJ, que coincideix amb els 38,5 kJ que cedeix el coure.

Primer, el gel s'escalfa de -20 °C fins a 0 °C: la temperatura puja.
A 0 °C el gel es fon: la temperatura es manté constant fins que tot és aigua líquida.
Després l'aigua s'escalfa de 0 °C a 100 °C: la temperatura torna a pujar.
A 100 °C l'aigua bull: la temperatura es manté constant fins que tot és vapor.
Durant els canvis d'estat l'energia subministrada (calor latent) no serveix per augmentar l'agitació de les partícules, sinó per debilitar les forces que les mantenen unides.

a) Calor que pot cedir l'aigua si es refreda fins a 0 °C: 0,300·4180·40 = 50160 J. Calor per fondre tot el gel: 0,100·334000 = 33400 J. Com que 50160 > 33400, es fon tot el gel.
Sobren 50160 - 33400 = 16760 J, que escalfen els 400 g d'aigua resultants: 16760 = 0,400·4180·ΔT → ΔT = 10,0 °C. Temperatura final: 10,0 °C.
b) Per fondre 400 g de gel calen 0,400·334000 = 133600 J, més que els 50160 J disponibles: no es fon tot.
Gel que es fon: m = 50160/334000 = 0,150 kg = 150 g. Queden 400 - 150 = 250 g de gel.
Estat final: barreja de 450 g d'aigua líquida i 250 g de gel a 0 °C.

1) Gel de -20 °C a 0 °C: Q₁ = 0,2·2090·20 = 8360 J.
2) Fusió a 0 °C: Q₂ = 0,2·334000 = 66800 J.
3) Aigua de 0 °C a 100 °C: Q₃ = 0,2·4180·100 = 83600 J.
4) Vaporització a 100 °C: Q₄ = 0,2·2,26·10⁶ = 452000 J.
Energia total: Q = 8360 + 66800 + 83600 + 452000 = 610760 J. Temps: t = Q/P = 610760/500 = 1221,5 s, que són 20,4 min.
Més del 70 % de l'energia (452000 de 610760 J) es gasta en la vaporització.

Calor útil que rep l'aigua: Q = m·c·ΔT = 1,2·4180·82 = 411312 J.
Només el 85 % de l'energia elèctrica es converteix en calor útil: E = Q/η = 411312/0,85 = 483896 J.
En kWh: 483896/(3,6·10⁶) = 0,134 kWh.
Temps: t = E/P = 483896/2200 = 220 s (uns 3,7 minuts).
Error típic: multiplicar per 0,85 en lloc de dividir; l'energia consumida ha de ser més gran que la que rep l'aigua.

Velocitat: 72 km/h = 72/3,6 = 20 m/s.
Energia cinètica: E_c = (1/2)·m·v² = 0,5·1000·20² = 200000 J.
Aquesta energia es converteix en calor: Q = m_discs·c·ΔT → 200000 = 5·450·ΔT.
ΔT = 200000/2250 = 88,9 °C.
En una frenada real, part de la calor passa a l'aire i a altres peces, així que l'augment seria una mica menor.

a) η = $\tfrac{W}{Q_{1}}$ → $Q_{1}$ = $\tfrac{W}{\eta}$. Cada segon: 14000/0,35 = 40000 J (una potència absorbida de 40 kW).
b) $Q_{2}$ = $Q_{1}$ - W = 40000 - 14000 = 26000 J cada segon (26 kW).
c) En una hora: 40000·3600 = 1,44·$10^{8}$ J.
Massa de combustible: m = 1,44·$\tfrac{10^{8}}{4{,}8\cdot 10^{7}}$ = 3,0 kg.
La màquina consumeix 3,0 kg de combustible cada hora.

ΔT = 120 - 20 = 100 °C.
Coure: ΔL = α·$L_{0}$·ΔT = 1,7·$10^{-5}$·1,00·100 = 1,7·$10^{-3}$ m = 1,7 mm.
Alumini: ΔL = 2,4·$10^{-5}$·1,00·100 = 2,4·$10^{-3}$ m = 2,4 mm.
L'alumini s'allarga 0,7 mm més que el coure. Com que van soldades, la làmina es corba: el metall que s'allarga més (alumini) queda a la part exterior de la corba i el que s'allarga menys (coure) a l'interior.
Aquest efecte s'aprofita en els termòstats: en escalfar-se, la làmina es corba i obre o tanca un circuit.

Màquina A: produiria més energia (5500 J) de la que absorbeix (5000 J). El rendiment seria η = 5500/5000 = 1,10, més del 100 %. Això viola el principi de conservació de l'energia: no es pot crear energia.
Màquina B: compleix la conservació de l'energia (5000 J absorbits = 5000 J de treball), però el seu rendiment seria del 100 %. Segons el segon principi de la termodinàmica, cap màquina tèrmica que funcioni de manera cíclica pot convertir tota la calor en treball: sempre n'ha de cedir una part a una font freda.
Per tant, cap de les dues màquines és possible.

Augment relatiu del volum: ΔV/V₀ = γ·ΔT = 1,1·10^-3·40 = 0,044, és a dir, un 4,4 %.
El volum final és V = 1,044·V₀.
La massa no canvia: ρ = m/V = m/(1,044·V₀) = 790/1,044 = 757 kg/m³.
La densitat disminueix perquè la mateixa massa ocupa més volum (les partícules se separen una mica en agitar-se més).
Això explica la convecció: el líquid escalfat és menys dens i puja.

Sigui m la massa d'aigua calenta. La calor que cedeix és la que guanya l'aigua freda: m·c·(90 - 36) = 40·c·(36 - 15).
La calor específica c és la mateixa i se simplifica: m·54 = 40·21.
m = 840/54 = 15,6 kg.
Comprovació: l'aigua calenta cedeix 15,6·54 = 840 kg·°C i la freda en guanya 40·21 = 840 kg·°C.
Cal afegir uns 15,6 kg (15,6 L) d'aigua a 90 °C.