Exercicis d'energia i calor — Física i Química 4t ESO

El treball és W = F·d.
W = 40 N · 5 m = 200 J.
Unitats: N·m = J (joules).

L'energia cinètica és $E_{c}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$.
$E_{c}$ = 0,5 · 3 kg · $(2\ \text{m/s})^{2}$ = 0,5·3·4 = 6 J.

Es dilaten (es fan més grans).

L'energia potencial gravitatòria és $E_{p}$ = m·g·h, amb h mesurada des del terra.
$E_{p}$ = 2,5 kg · 9,8 $\text{m/s}^{2}$ · 4 m = 98 J.
Comprovació d'unitats: kg · $\text{m/s}^{2}$ · m = N·m = J.
Error típic: oblidar que l'energia potencial depèn del nivell que triem com a referència per a h = 0.

La potència és el treball fet per unitat de temps: P = W/t.
P = 12000 J / 30 s = 400 W.
Com que 1 kW = 1000 W, P = 400/1000 = 0,4 kW.
Comprovació: en 30 s, 400 W · 30 s = 12000 J.

a) 1 kJ = 1000 J, per tant 3 kJ = 3000 J.
b) 1 kW·h = 1000 W · 3600 s = 3,6·$10^{6}$ J = 3,6 MJ, per tant 2 kW·h = 7,2 MJ.
c) 18 MJ / (3,6 MJ per kW·h) = 5 kW·h.
Recorda: el kW·h és una unitat d'energia (potència per temps), no de potència.

El rendiment és el quocient entre l'energia útil i l'energia consumida: η = E_útil/E_consumida.
η = 400/500 = 0,8, és a dir, un 80 %.
Els 100 J restants no es destrueixen: es dissipen a l'entorn, sobretot en forma de calor (escalfament dels bobinatges i dels coixinets) i una mica de soroll.
Cap màquina real té un rendiment del 100 %.

a) Potencial gravitatòria: depèn de la massa i de l'altura respecte del terra.
b) Cinètica: depèn de la massa i de la velocitat (també té potencial gravitatòria, però predomina el moviment).
c) Potencial elàstica: està emmagatzemada en la deformació de la molla.
d) Química: està emmagatzemada en els enllaços de les molècules del combustible.
e) Elèctrica: la transporten les càrregues en moviment.

1) L'aigua de l'embassament, situada a una certa altura, té energia potencial gravitatòria.
2) Quan cau per les canonades, aquesta energia es transforma en energia cinètica de l'aigua.
3) L'aigua en moviment fa girar les pales de la turbina: l'energia cinètica de l'aigua passa a ser energia mecànica de rotació.
4) La turbina fa girar l'alternador, que transforma l'energia mecànica en energia elèctrica.
En tot el procés una part de l'energia es dissipa en forma de calor pel fregament.

a) Certa. El treball és W = F·d·cos α; si la força és perpendicular al desplaçament, α = 90° i cos α = 0, de manera que W = 0 (per exemple, la normal d'un terra horitzontal).
b) Falsa. El fregament s'oposa al moviment (α = 180°, cos α = -1), per tant el seu treball és negatiu i fa disminuir l'energia mecànica.
c) Falsa. Si la maleta no es desplaça, d = 0 i W = F·0 = 0, encara que la persona se'n cansi.

Primer el treball que fa en pujar la càrrega. Ha de vèncer el pes (F = m·g) al llarg de l'altura h, així que el treball és l'energia potencial que guanya la càrrega:
W = m·g·h = 10·200·5 = 10000 J.

Ara la potència, que diu com de ràpid s'ha fet aquest treball:
P = W / t = 10000 / 4 = 2500 W, és a dir, 2,5 kW.

De fet, es pot ajuntar tot en una sola expressió: P = m·g·h / t.

Parany: la potència no és només la força ni només el treball; és el treball dividit pel TEMPS. El mateix muntacàrregues, si pugés la mateixa càrrega igual d'amunt però en 8 s, faria el mateix treball (10000 J) però amb la meitat de potència.

El truc és que aquí l'energia mecànica NO es conserva: una part es perd (es dissipa) en forma de calor pel fregament.

Energia mecànica a dalt (tota potencial, part de repòs):
Em₀ = m·g·h = 10·30·2 = 600 J.

Energia mecànica a baix (tota cinètica, ja no té altura):
Em_f = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ = 0,5·30·$5^{2}$ = 0,5·30·25 = 375 J.

L'energia dissipada és la que falta:
E_dissipada = Em₀ - Em_f = 600 - 375 = 225 J.

Parany: l'energia no ha desaparegut. Els 225 J s'han transformat en calor (el tobogan i el nen s'escalfen una mica). L'energia total sempre es conserva; el que no es conserva és la mecànica.

La calor és Q = m·c·ΔT.
Q = 1 kg · 4180 J/(kg·°C) · 10 °C = 41800 J, uns 41,8 kJ.
Cal molta energia perquè l'aigua té una calor específica alta.

Aquí no estem escalfant res: el gel ja és a 0 °C i l'aigua també quedarà a 0 °C. Tota la calor s'inverteix només a canviar d'estat (fondre). Per això no fem servir Q = m·c·ΔT, sinó la calor latent:
Q = m·L.
Q = 0,5·334000 = 167000 J, és a dir, uns 167 kJ.

Parany: durant tota la fusió la temperatura NO puja, es queda clavada a 0 °C. Encara que sembli que no passa res (el termòmetre no es mou), l'energia sí que hi entra: es fa servir per trencar el gel i tornar-lo líquid.

Energia cinètica inicial: E_c = (1/2)·m·v² = 0,5·20·7² = 490 J. Al final, E_c = 0.
Força de fregament: F_f = μ·m·g = 0,25·20·9,8 = 49 N.
El treball del fregament és negatiu i iguala la variació d'energia cinètica: -F_f·d = 0 - 490, d'on d = 490/49 = 10 m.
En general, d = v²/(2·μ·g): la massa se simplifica i la distància no en depèn.

Sense fregament, l'energia mecànica es conserva. Al punt de sortida: $E_{m}$ = $E_{p}$ = m·g·h = 500·9,8·20 = 98000 J (v = 0).
Al punt més baix, tota l'energia és cinètica: ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ = 98000, d'on v = $\sqrt{\tfrac{2\cdot 98000}{500}}$ = $\sqrt{392}$ = 19,8 m/s.
A 10 m d'altura: $E_{p}$ = 500·9,8·10 = 49000 J, per tant $E_{c}$ = 98000 - 49000 = 49000 J i v = $\sqrt{\tfrac{2\cdot 49000}{500}}$ = $\sqrt{196}$ = 14 m/s.
Observa que la massa no influeix en les velocitats: v = $\sqrt{2\cdot g\cdot \Delta h}$.

Treball útil: és l'augment d'energia potencial de l'aigua, W = m·g·h = 300·9,8·20 = 58800 J.
Potència útil: P_útil = W/t = 58800/30 = 1960 W.
El rendiment és η = P_útil/P_consumida, d'on P_consumida = 1960/0,8 = 2450 W (2,45 kW).
Comprovació: 0,8 · 2450 = 1960 W.

Potència: 2200 W = 2,2 kW. Temps de funcionament diari: 45 min = 0,75 h; en 30 dies, 0,75·30 = 22,5 h.
Energia: E = P·t = 2,2 kW · 22,5 h = 49,5 kW·h.
Cost: 49,5 kW·h · 0,18 €/kW·h = 8,91 €.
Error típic: no passar els watts a quilowatts o els minuts a hores abans de multiplicar.

Força aplicada: $W_{F}$ = F·d = 90·4 = 360 J. Fregament: $W_{f}$ = -$F_{f}$·d = -40·4 = -160 J (negatiu, perquè s'oposa al moviment).
Pes i normal: són perpendiculars al desplaçament, per tant el seu treball és 0.
Treball net: 360 - 160 = 200 J. Aquest treball és la variació d'energia cinètica: 200 = ($\tfrac{1}{2}$)·25·$v^{2}$ - 0.
v = $\sqrt{\tfrac{2\cdot 200}{25}}$ = $\sqrt{16}$ = 4 m/s.

Velocitat: 90 km/h = 25 m/s.
La potència és P = $\tfrac{W}{t} = F$·$\tfrac{d}{t} = F$·v = 800·25 = 20000 W = 20 kW.
Energia en mitja hora: E = P·t = 20 kW · 0,5 h = 10 kW·h.
Comprovació: en 1800 s el cotxe recorre 25·1800 = 45000 m, i W = F·d = 800·45000 = 3,6·$10^{7}$ J = 10 kW·h.

Passem a m/s: 36 km/h = 10 m/s i 72 km/h = 20 m/s.
A 10 m/s: $E_{c}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·1000·$10^{2}$ = 50000 J.
A 20 m/s: $E_{c}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·1000·$20^{2}$ = 200000 J.
200000/50000 = 4: l'afirmació és falsa. L'energia cinètica és proporcional al quadrat de la velocitat; si la velocitat es duplica, l'energia es multiplica per 4.
Per això la velocitat és tan determinant en la gravetat dels accidents.

Plantegem el balanç d'energia: la mecànica inicial es reparteix entre la mecànica final i l'energia dissipada.
Em₀ = Em_f + E_dissipada.

Mecànica inicial (tota potencial, surt del repòs):
Em₀ = m·g·h = 10·4·3 = 120 J.

Mecànica final (tota cinètica, ja no té altura):
Em_f = Em₀ - E_dissipada = 120 - 40 = 80 J.

Aquesta energia cinètica és (1/2)·m·v², així que:
80 = 0,5·4·v² = 2·v².
v² = 80 / 2 = 40.
v = √40 ≈ 6,3 m/s.

Parany: si haguéssim oblidat el fregament, hauríem posat els 120 J sencers com a cinètica i ens hauria sortit una velocitat més gran (v = √60 ≈ 7,7 m/s). El fregament es menja part de l'energia i la caixa arriba més a poc a poc.

La idea clau és que la calor que cedeix l'aigua calenta (en refredar-se) és exactament la mateixa que absorbeix l'aigua freda (en escalfar-se):
$Q_{\mathrm{cedit}}$ = $Q_{\mathrm{absorbit}}$.

Anomenem $T_{f}$ la temperatura final (la mateixa per a totes dues, perquè s'igualen). Com que és aigua tota dues, la calor específica c és igual i se simplifica:
$m_{\mathrm{calenta}}$·(60 - $T_{f}$) = $m_{\mathrm{freda}}$·($T_{f}$ - 30).
2·(60 - $T_{f}$) = 1·($T_{f}$ - 30).
120 - 2·$T_{f}$ = $T_{f}$ - 30.
120 + 30 = $T_{f}$ + 2·$T_{f}$.
150 = 3·$T_{f}$.
$T_{f}$ = 50 °C.

Comprovació de sentit físic: 50 °C està entre 30 i 60, com ha de ser. I queda més a prop de 60 que de 30 perquè hi ha el doble d'aigua calenta que de freda; la que mana més estira la temperatura cap a ella.

El procés té DUES etapes ben diferents i cal sumar la calor de cadascuna.

Etapa 1 — fondre el gel (de gel a 0 °C fins a aigua a 0 °C). Canvi d'estat, temperatura constant, fem servir la calor latent:
Q₁ = m·L = 0,2·334000 = 66800 J.

Etapa 2 — escalfar aquesta aigua de 0 °C a 100 °C. Ara sí que puja la temperatura (ΔT = 100 °C), fem servir la calor específica:
Q₂ = m·c·ΔT = 100·0,2·4180 = 83600 J.

Calor total:
Q = Q₁ + Q₂ = 66800 + 83600 = 150400 J, uns 150 kJ.

Parany: no es pot fer tot amb una sola fórmula. Mentre el gel es fon la temperatura no canvia (etapa 1, latent) i només després comença a pujar (etapa 2). Barrejar-ho tot en un únic m·c·ΔT és l'error clàssic.

Velocitat: sense fregament es conserva l'energia mecànica, m·g·h = (1/2)·m·v², d'on v = √(2·g·h) = √(2·9,8·0,2) = √3,92 = 1,98 m/s.
Al punt més baix la bola descriu un arc de circumferència de radi L = 1 m: la força neta cap amunt (centrípeta) és T - m·g = m·v²/L.
T = m·g + m·v²/L = 0,5·9,8 + 0,5·3,92/1 = 4,9 + 1,96 = 6,86 N.
La tensió és major que el pes (4,9 N) perquè el fil, a més de sostenir la bola, ha de fer-li canviar la direcció de la velocitat.

Al tobogan llis es conserva l'energia mecànica: m·g·h = (1/2)·m·v², d'on v = √(2·g·h) = √(2·9,8·1,8) = √35,28 = 5,94 m/s.
En el tram rugós, l'energia cinètica de la base (15·9,8·1,8 = 264,6 J) es dissipa pel treball del fregament: F_f·d = 264,6 J, amb F_f = μ·m·g = 0,3·15·9,8 = 44,1 N.
d = 264,6/44,1 = 6 m.
En general m·g·h = μ·m·g·d, d'on d = h/μ = 1,8/0,3 = 6 m: la massa se simplifica i la distància no en depèn.

A velocitat constant la força neta és zero: el ciclista ha de vèncer la component del pes paral·lela a la carretera i les resistències.
Component del pes: m·g·(6/100) = 80·9,8·0,06 = 47,04 N. Força total: F = 47,04 + 20 = 67,04 N ≈ 67 N.
Potència: P = F·v = 67,04·5 = 335 W.
Energia en 10 min (600 s): E = P·t = 335,2·600 = 201120 J ≈ 201 kJ.
Comprovació: recorre 5·600 = 3000 m i puja 180 m; ΔE_p = 80·9,8·180 = 141120 J i el treball contra les resistències és 20·3000 = 60000 J; en total 201120 J.

Els rendiments de les etapes en cadena es multipliquen: η = 0,85 · 0,40 · 0,95 = 0,323, és a dir, un 32,3 %.
Només prop d'un terç de l'energia del combustible arriba convertida en electricitat.
Per obtenir 100 MJ elèctrics: E_combustible = E_elèctrica/η = 100/0,323 = 309,6 MJ.
Comprovació: 309,6 · 0,85 = 263,2 MJ de vapor; · 0,40 = 105,3 MJ mecànics; · 0,95 = 100 MJ elèctrics.
Els 209,6 MJ restants es dissipen a l'ambient, sobretot en forma de calor.

Abans del rebot (caiguda de 2 m): v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 2}$ = 6,26 m/s.
Després del rebot (puja fins a 1,25 m): v = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}25}$ = $\sqrt{24,5}$ = 4,95 m/s.
Energia inicial (a 2 m): $E_{1}$ = m·g·h = 0,2·9,8·2 = 3,92 J. Energia final (a 1,25 m): $E_{2}$ = 0,2·9,8·1,25 = 2,45 J.
Energia perduda: 3,92 - 2,45 = 1,47 J, que representa $\tfrac{1{,}47}{3{,}92} = 0{,}375$, o sigui el 37,5 %.
Aquesta energia s'ha dissipat en la deformació de la pilota i del terra (calor i soroll).

Variació d'energia potencial: ΔE_p = m·g·h = 10·9,8·2,5 = 245 J.
Variació d'energia cinètica: ΔE_c = (1/2)·10·4² - 0 = 80 J.
Treball del fregament: W_f = -F_f·d = -5·10 = -50 J.
El treball de l'operari ha d'augmentar les dues energies i compensar el fregament: W_F = ΔE_p + ΔE_c + 50 = 245 + 80 + 50 = 375 J.
Com que W_F = F·d, F = 375/10 = 37,5 N.