PAU Matemàtiques 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 6

6. Considereu la funció f(x) = ex –1 – x – 1. a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decrei­ xement. [1,25 punts] b) Demostreu que l’equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = –1 i x = 3. [1,25 punts]

a) [1,25 punts] La funció és contínua per ser la suma de dues funcions continues, l’exponencial i una polinòmica de primer grau. Per analitzar-ne la monotonia estudiarem el signe de la derivada: 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥−1 −1 = 0 per tant 𝑒𝑥−1 = 1 d’on 𝑥−1 = 0 i, així, 𝑥= 1 és un punt crític. Fem la taula de comportament 𝑥 (−∞, 1) 1 (1, +∞) 𝑓′(𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) decreix −1 creix La funció té un mínim relatiu (i absolut) en el punt (1, −1), és monòtona decreixent en l’interval (−∞, 1) i monòtona creixent en l’interval (1, +∞). b) [1,25 punts] Per demostrar si la funció té o no arrels aplicarem el teorema de Bolzano. En aquest cas la funció és contínua en tots els reals, per tant, ho és en qualsevol interval tancat, concretament en l’interval [−1,3]. Els tots dos extrems de l’interval la funció és positiva: 𝑓(−1) = 𝑒−2 > 0 i 𝑓(3) = 𝑒2 −4 > 0 Per altra banda, sabem que 𝑓(1) < 0 i que en 𝑥= 1 la funció té un mínim absolut. Així, pel teorema de Bolzano, podem afirmar que:  existeix una arrel en l’interval obe […]