PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Una gran pastisseria especialitzada en coques de Sant Joan elabora la massa de les coques amb farina i sucre. A la pastisseria disposen de 60 kg de farina i 30 kg de sucre per a les coques d’enguany i en volen fer de dos tipus: sense farcir i farcides de crema. Per a elaborar la massa d’una coca sense farcir es necessiten 500 g de farina i 300 g de sucre. Aquest tipus de coca la posen a la venda a 15 €. En canvi, per a elaborar la massa d’una coca farcida de crema es necessiten 400 g de farina i 120 g de sucre. I aquesta altra coca es ven a 25 €. La pastisseria ja ha tancat el període de comandes anticipades i, un cop comptabilitza- des, se sap que com a mínim haurà d’elaborar 60 coques sense farcir i 30 coques farcides de crema. La pastissera en cap vol saber quantes coques de cada tipus hauria d’elaborar i vendre per a obtenir el màxim d’ingressos. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Determineu quantes coques de cada tipus cal elaborar per a obtenir el màxim d’in- gressos i quins seran aquests ingressos. Sobrarà alguna quantitat dels ingredients utilitzats per a elaborar la massa? En cas afirmatiu, de quin ingredient i de quina quantitat es tracta? [1,25 punts]

a) Denotem per 𝑥 el nombre de coques sense farcir i per 𝑦 el nombre de coques farcides de crema. El sistema d’inequacions donat per les restriccions del problema és el següent: 𝑥≥60 𝑥≥60 𝑦≥30 𝑦≥30 { o també { 500𝑥+ 400𝑦≤60000 0,5𝑥+ 0,4𝑦≤60 300𝑥+ 120𝑦≤30000 0,3𝑥+ 0,12𝑦≤30 Si simplifiquem el sistema podem treballar amb el següent: 𝑥≥60 𝑦≥30 { 5𝑥+ 4𝑦≤600 3𝑥+ 1,2𝑦≤300 La funció objectiu, que ens dona els ingressos per la venda de les coques, és: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 15𝑥+ 25𝑦 La regió factible serà: b) Els vèrtexs de la regió factible són: 𝐴(60,30), 𝐵(88,30), 𝐶(80,50) i 𝐷(60,75). Si avaluem la funció objectiu als quatre vèrtexs obtenim: 𝐹(𝐴) = 15 · 60 + 25 · 30 = 1650 𝐹(𝐵) = 15 · 88 + 25 · 30 = 2070 𝐹(𝐶) = 15 · 80 + 25 · 50 = 2450 𝐹(𝐷) = 15 · 60 + 25 · 75 = 2775 El màxim d’ingressos s’obtenen venent 60 coques sense farcir i 75 coques farcides de crema. En aquest cas, s’ingressen 2775 €. Calculem la quantitat de sucre i de farina necessaris per veure si en sobra: Farina: 60 · 0,5 + 75 · 0,4 = 60 kg Suc […]