PAU Matemàtiques 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

5. a) Donada la matriu , resoleu l’equació matricial A2 X = A – 3I, en què I és la matriu identitat. [1,25 punts] b) Una matriu quadrada M satisfà que M3 – 3M2 + 3M – I = 0, en què I és la matriu identitat. Justifiqueu que M és invertible i expresseu la inversa de M en funció de les matrius M i I. [1,25 punts]

5. Penalització per errades de càlcul o transcripció:  Si l’errada que es comet no té més transcendència, aleshores NO es descomptarà res de la puntuació parcial de l’apartat.  En el cas que l’errada condueixi a derivacions paral·leles de l’enunciat, es valorarà i puntuarà el desenvolupament i coherència de la resolució resultant, i només s’aplicarà una penalització final de 0,25 punts.  En cas que l’errada condueixi a no tenir sentit alguna de les qüestions que es demanen, aleshores la puntuació màxima de l’apartat serà de 0,75 punts.  Si la resolució d’un apartat conté dues errades la puntuació de l’apartat serà l’acumulada fins al moment previ al cometre la segona errada. [1,25 punts] a) [1,25 punts] L’equació de la recta tangent en el punt de la paràbola (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (𝑎, 4 −𝑎2) és: 𝑦−𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎) · (𝑥−𝑎) Calculem la derivada i l’avaluem en 𝑥= 𝑎: 𝑓(𝑥) = 4 −𝑥2 →𝑓′(𝑥) = −2𝑥→𝑓′(𝑎) = −2𝑎. La recta tangent a la paràbola és: 𝑦−(4 −𝑎2) = −2𝑎· (𝑥−𝑎) → 𝑦= −2𝑎𝑥+ 2𝑎2 + 4 −𝑎2 →𝑦= −2𝑎𝑥+ 𝑎2 + […]