PAU Matemàtiques 2019 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Considereu la funció . a) Calculeu el domini de la funció f, els punts de tall de la gràfica de f amb els eixos de coordenades, i els intervals de creixement i decreixement de f. [1 punt] b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció f, les rectes x = 1 i x = e, i l’eix de les abscisses. [1 punt]

6. Considereu la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥 . a) Calculeu el domini de la funció 𝑓, els punts de tall de la gràfica de 𝑓 amb els eixos de coordenades, i els intervals de creixement i decreixement de 𝑓. [1 punt] b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció 𝑓, les rectes 𝑥= 1 i 𝑥= 𝑒, i l’eix de les abscisses. [1 punt] Resolució: ln(𝑥) a) Per poder avaluar la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥 necessitem poder calcular el logaritme neperià del numerador (això vol dir que x sigui estrictament positiva) i poder dividir (és a dir, que x no sigui 0). Així doncs, 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = (0, +∞) . Com que x = 0 no pertany al domini de la funció, no hi ha intersecció amb l’eix OY. Com que 𝑓(𝑥) = 0 ⟹ln(𝑥) = 0 ⟹𝑥= 1, la intersecció amb l’eix OX és (1, 0). Per als intervals de creixement cal estudiar el signe de la funció derivada primera. 1−ln (𝑥) La funció derivada és 𝑓′(𝑥) = . 𝑥2 Resolent 𝑓′(𝑥) = 0 s’obté com a única solució x = e. Així doncs, els intervals de creixement són els següents: (0, 𝑒) (e,+∞) 𝑓′ […]