Flashcards: Moviment harmònic simple

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és un moviment harmònic simple (MHS)?

   El vaivé d'un cos al voltant d'una posició d'equilibri quan la força que el fa tornar és proporcional a la separació i de sentit contrari: $F = -k x$.

2. 2. Què són l'elongació i l'amplitud d'un MHS?

   L'elongació $x$ és la posició del cos respecte a l'equilibri en cada instant. L'amplitud $A$ és l'elongació màxima: el cos oscil·la entre $-A$ i $+A$.

3. 3. Com es relacionen el període, la freqüència i la pulsació d'un MHS?

   El període $T$ és el temps d'una oscil·lació completa; la freqüència, $f = 1/T$, en hertzs; i la pulsació o freqüència angular, $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$, en $\mathrm{rad/s}$.

4. 4. Equació de la posició d'un MHS i significat de cada símbol.

   $x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$: $A$ és l'amplitud, $\omega$ la pulsació, $\varphi_0$ la fase inicial i $\omega t + \varphi_0$, la fase.

5. 5. Amb $x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, quina fase inicial té un MHS que comença a l'extrem $+A$? I si comença a l'equilibri cap a $x$ positives?

   A l'extrem $+A$, $\varphi_0 = \pi/2$, i l'equació queda $x = A\cos\omega t$. A l'equilibri movent-se cap a $x$ positives, $\varphi_0 = 0$.

6. 6. Com s'obtenen la velocitat i l'acceleració d'un MHS a partir de $x(t)$?

   Derivant respecte al temps: $v = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)$ i $a = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0)$.

7. 7. Quina relació hi ha entre l'acceleració i l'elongació en un MHS?

   $a = -\omega^2 x$: l'acceleració és proporcional a l'elongació i sempre de sentit contrari, és a dir, apunta cap a la posició d'equilibri.

8. 8. On són màximes la velocitat i l'acceleració d'un MHS, i quant valen?

   La velocitat, al punt d'equilibri: $v_{\mathrm{max}} = A\omega$. L'acceleració, als extrems: $a_{\mathrm{max}} = A\omega^2$. On una és màxima, l'altra és nul·la.

9. 9. Fórmula de la velocitat d'un MHS en funció de la posició.

   $v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$. Dona $v_{\mathrm{max}} = A\omega$ a $x = 0$ i $v = 0$ als extrems.

10. 10. Quina relació hi ha entre un MHS i un moviment circular uniforme?

    La projecció sobre un diàmetre d'un moviment circular uniforme és un MHS: l'amplitud és el radi i la pulsació és la velocitat angular.

11. 11. Període i pulsació d'una massa unida a una molla.

    $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ i $\omega = \sqrt{k/m}$, amb $m$ la massa i $k$ la constant elàstica. Com més dura la molla, més ràpida l'oscil·lació; com més massa, més lenta.

12. 12. Com trobes la constant d'una molla vertical a partir de l'allargament en equilibri?

    A l'equilibri, la força elàstica iguala el pes: $k\,\Delta x = m g$, és a dir, $k = m g/\Delta x$.

13. 13. Quina relació hi ha entre la constant recuperadora $k$, la massa i la pulsació de qualsevol MHS?

    $k = m\omega^2$. Surt de comparar $F = -kx$ amb la segona llei de Newton, $F = ma = -m\omega^2 x$.

14. 14. Període d'un pèndol simple i condició per poder-lo fer servir.

    $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, amb $L$ la longitud del fil i $g$ la intensitat del camp gravitatori. Només val per a oscil·lacions petites, d'uns pocs graus.

15. 15. Error típic: creure que el període d'un pèndol depèn de la massa. Què és el correcte?

    El període del pèndol només depèn de $L$ i de $g$. Qui sí que depèn de la massa és l'oscil·lador de molla, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$.

16. 16. Depèn de l'amplitud el període d'un MHS?

    No. Tant a la molla com al pèndol (amb oscil·lacions petites), el període és el mateix sigui quina sigui l'amplitud.

17. 17. Per duplicar el període d'un pèndol, per quant n'has de multiplicar la longitud?

    Per 4, perquè el període és proporcional a $\sqrt{L}$. Duplicar la longitud només multiplica el període per $\sqrt{2}$.

18. 18. Energia potencial elàstica d'un oscil·lador en una posició $x$.

    $E_p = \tfrac{1}{2} k x^2$. És nul·la a l'equilibri i màxima als extrems.

19. 19. Quant val l'energia mecànica d'un oscil·lador harmònic i com es comporta?

    $E = \tfrac{1}{2} k A^2 = \tfrac{1}{2} m v_{\mathrm{max}}^2$. Sense fregament es conserva: als extrems és tota potencial i a l'equilibri, tota cinètica.

20. 20. Energia cinètica d'un oscil·lador harmònic en funció de la posició.

    $E_c = \tfrac{1}{2} k (A^2 - x^2)$: és l'energia mecànica menys la potencial elàstica.

21. 21. En quina posició d'un MHS l'energia cinètica és igual a la potencial?

    A $x = \pm A/\sqrt{2}$, on cadascuna val la meitat de l'energia mecànica. No és a $x = A/2$: allà la potencial només és una quarta part del total.

22. 22. Si dupliques l'amplitud d'un oscil·lador de molla, què passa amb la velocitat màxima i amb l'energia mecànica?

    La velocitat màxima es duplica, perquè $v_{\mathrm{max}} = A\omega$, i l'energia mecànica es multiplica per 4, perquè és proporcional a $A^2$.