Exercicis de nombres, potències i arrels — Matemàtiques 2n ESO

Signes diferents: resto 7 - 3 = 4 i deixo el signe del més gros (el 7, negatiu). Resultat: -4.

Mateix denominador: sumo els numeradors, 1 + 4 = 5, i deixo el 6. Resultat: $\tfrac{5}{6}$.

Deixo una xifra al davant, 8, i he mogut la coma 3 llocs: 8000 = 8 · $10^{3}$.

Primer la multiplicació: (-5) · (-4) = +20 (negatiu per negatiu dona positiu).
Després la resta: 20 - 6 = 14.

El màxim comú divisor de 18 i 24 és 6.
18/24 = (18:6)/(24:6) = 3/4.
Ja és irreductible, perquè 3 i 4 no tenen cap divisor comú.

Una potència és una multiplicació repetida: $3^{4}$ = 3 · 3 · 3 · 3.
3 · 3 = 9; 9 · 3 = 27; 27 · 3 = 81.
$3^{4}$ = 81. Error típic: calcular 3 · 4 = 12.

Movem la coma cap a la dreta fins que davant hi ha una sola xifra diferent de zero: 3,5. Hem passat 4 llocs.
Com que el nombre és més petit que 1, l'exponent és negatiu: 0,00035 = 3,5 · $10^{-4}$.

$\sqrt{81}$ = 9, perquè $9^{2}$ = 81.
$\sqrt{16}$ = 4, perquè $4^{2}$ = 16.
Suma: 9 + 4 = 13.

Entre els negatius és més petit el que té el valor absolut més gran.
Ordre: -7 < -3 < -1 < 0 < 2.

Una potència d'exponent negatiu és la inversa de la potència d'exponent positiu: 5^-2 = 1/5².
5² = 25, per tant 5^-2 = 1/25.
Error típic: pensar que el resultat és negatiu.

Partim de -3 i sumem 8: -3 + 8. Signes diferents, resto 8 - 3 = 5 i deixo el signe del més gros (positiu). Al migdia marca 5 graus.

Multiplico en línia: 2/3 · 3/4 = 6/12. Simplifico dividint dalt i baix per 6: 6/12 = 1/2. Resultat: 1/2.

Mateixa base i producte: se sumen els exponents. $5^{2}$ · $5^{3}$ = $5^{5}$.

No és exacta. Busco els quadrats perfectes al voltant: $3^{2}$ = 9 i $4^{2}$ = 16. Com que 9 < 15 < 16, $\sqrt{15}$ està entre 3 i 4 (de fet $\sqrt{15}$ = 3,87...).

Primer el parèntesi: 5 - 7 = -2.
Després la potència: $(-2)^{2}$ = 4.
Després la multiplicació: 3 · 4 = 12.
Finalment la resta: 8 - 12 = -4.

Cal un denominador comú: m.c.m.(4, 6) = 12.
3/4 = 9/12 i 1/6 = 2/12.
9/12 - 2/12 = 7/12, que ja és irreductible.

Producte de potències de la mateixa base: 2⁵ · 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸.
Quocient de potències de la mateixa base: 2⁸ / 2⁶ = 2^8-6 = 2².
2² = 4.

Multipliquem els nombres i, per separat, les potències de 10.
3,2 · 2 = 6,4 i $10^{5}$ · $10^{3}$ = $10^{8}$.
Resultat: 6,4 · $10^{8}$ (ja té una sola xifra abans de la coma, així que ja és notació científica).

Fracció gastada: 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15.
Fracció que queda: 1 - 11/15 = 4/15.
Euros que queden: 4/15 de 1500 = 1500 : 15 · 4 = 100 · 4 = 400 €.
Comprovació: lloguer 600 € + menjar 500 € = 1100 €, i 1500 - 1100 = 400 €.

$7^{2}$ = 49 i $8^{2}$ = 64, així que 7 < $\sqrt{50}$ < 8.
Com que 50 és molt a prop de 49, l'arrel és molt a prop de 7.
Provem $7{,}1^{2}$ = 50,41, que passa de 50, i $7{,}0^{2}$ = 49, que no hi arriba. El 50 és més a prop de 50,41 que de 49.
Aproximació: $\sqrt{50}$ ≈ 7,1.

Prenem el nivell del mar com a 0 i les profunditats com a negatives: comença a -120 m.
Puja 45: -120 + 45 = -75.
Baixa 80: -75 - 80 = -155.
Queda a la cota -155 m, és a dir, a 155 m de profunditat.

Sumo el que s'han menjat: 3/8 + 2/8 = 5/8. La pizza sencera és 8/8, així que en queda 8/8 - 5/8 = 3/8. S'han menjat 5/8 i en queden 3/8.

L'àrea d'un quadrat és costat al quadrat, així que el costat és l'arrel de l'àrea: $\sqrt{49}$ = 7. Cada costat fa 7 metres.

Deixo 1 al davant i moc la coma 4 llocs cap a la dreta: 0,0001 = 1 · 10⁻⁴ metres. És un nombre petit, per això l'exponent és negatiu.

Primer el parèntesi: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Dividir per una fracció és multiplicar per la seva inversa: 11/12 · 6/5 = 66/60.
Simplifiquem dividint per 6: 66/60 = 11/10.
Resultat: 11/10 (= 1,1).

És FALS.
A $(-2)^{4}$ la base és -2, que es multiplica quatre cops: (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16 (exponent parell, resultat positiu).
A -$2^{4}$ l'exponent només afecta el 2, i el signe menys va després: -($2^{4}$) = -16.
Com que 16 ≠ -16, la igualtat no es compleix.

Temps = distància / velocitat = (1,5 · 10⁸) / (3 · 10⁵).
1,5 / 3 = 0,5 i 10⁸ / 10⁵ = 10³, per tant t = 0,5 · 10³ = 500 s.
500 s = 8 min i 20 s (8 · 60 = 480, i en sobren 20).

Dins del parèntesi se sumen els exponents: 3⁵ · 3^-2 = 3^5+(-2) = 3³.
Potència d'una potència: (3³)² = 3⁶.
Quocient: 3⁶ / 3³ = 3^6-3 = 3³.
3³ = 27.

a) El costat és l'arrel quadrada de l'àrea: $\sqrt{1296}$ = 36 m, perquè $36^{2}$ = 1296.
b) Perímetre = 4 · 36 = 144 m.
c) Cost = 144 · 4,50 = 648 €.

L'error és sumar numeradors amb numeradors i denominadors amb denominadors. Quan els denominadors són diferents, primer cal reduir a denominador comú.
m.c.m.(3, 5) = 15: 2/3 = 10/15 i 4/5 = 12/15.
2/3 + 4/5 = 10/15 + 12/15 = 22/15.
Comprovació: 2/3 + 4/5 ≈ 0,67 + 0,8 = 1,47 i 22/15 ≈ 1,47; en canvi 3/4 = 0,75, que és massa petit.