Exercicis d'àrees i volums de cossos — Matemàtiques 2n ESO

Una sola base. Les cares laterals són triangles que acaben en punta.

El prisma en té dues (iguals i paral·leles) i la piràmide, una de sola.

El radi és la meitat del diàmetre: $\tfrac{10}{2} = 5$ cm.

El volum d'un cub és aresta × aresta × aresta.
V = $5^{3}$ = 5·5·5 = 125 cm³.

El volum d'un ortoedre és llarg × ample × alt.
V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³.

L'àrea d'un cercle és A = π·$r^{2}$.
A = 3,14 · $3^{2}$ = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Error típic: oblidar elevar el radi al quadrat (π·r no és l'àrea).

És fals.
El volum del prisma és V = $A_{\mathrm{base}}$ · h, mentre que el de la piràmide és V = $\tfrac{(A_{\mathrm{base}} \cdot h)}{3}$.
La piràmide té un volum que és la tercera part del del prisma.

Cada base triangular té 3 arestes i 3 vèrtexs. Com que n'hi ha dues, hi ha 6 vèrtexs.
Arestes: 3 + 3 de les bases i 3 arestes laterals que uneixen les bases, en total 9 arestes.
Comprovació amb la fórmula d'Euler (cares + vèrtexs = arestes + 2): 5 + 6 = 9 + 2.

Multipliquem per 1000: 3,5 · 1000 = 3500.
Hi caben 3500 litres.

V = ($\tfrac{4}{3}$) · 3,14 · $3^{3}$ = ($\tfrac{4}{3}$) · 3,14 · 27.
Primer 27 · $\tfrac{4}{3} = 36$, i després 36 · 3,14 = 113,04.
El volum és 113,04 cm³.

Cada cara és un quadrat de 4 · 4 = 16 cm². Com que n'hi ha 6: 6 · 16 = 96 cm².

Divideixo el diàmetre entre 2: r = 12 / 2 = 6 m. Faig servir 6, no 12.

El volum és V = 2 · 2 · 2 = 8 dm³. Com que cada dm³ és 1 litre, hi caben 8 litres.

Volum de la piràmide: àrea de la base per l'altura, dividit entre 3. V = (12 · 6) / 3 = 72 / 3 = 24 cm³.

Un ortoedre té 3 parelles de cares iguals: 8×5, 8×3 i 5×3.
Àrees: 8·5 = 40; 8·3 = 24; 5·3 = 15.
$A_{\mathrm{total}}$ = 2·(40 + 24 + 15) = 2 · 79 = 158 cm².

Àrea de la base (triangle): $\tfrac{(6 \cdot 4)}{2} = 12$ cm².
V = $A_{\mathrm{base}}$ · altura del prisma = 12 · 10 = 120 cm³.
Atenció: no confonguis l'altura del triangle (4 cm) amb l'altura del prisma (10 cm).

Àrea lateral: 2·π·r·h = 2 · 3,14 · 4 · 9 = 226,08 cm².
Àrea de les dues bases: 2·π·r² = 2 · 3,14 · 16 = 100,48 cm².
A_total = 226,08 + 100,48 = 326,56 cm².

Àrea de la base: 6 · 6 = 36 cm².
V = (A_base · h)/3 = (36 · 4)/3 = 144/3 = 48 cm³.

La generatriu és la hipotenusa del triangle format per l'altura i el radi: h = $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$ = $\sqrt{169 - 25}$ = $\sqrt{144}$ = 12 cm.
V = $\tfrac{(\pi \cdot r^{2}\cdot h)}{3}$ = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 25 \cdot 12)}{3} = 3{,}14$ · 100 = 314 cm³.

Passem a decímetres: 8 dm × 4 dm × 5 dm.
V = 8 · 4 · 5 = 160 dm³ = 160 litres.
Els $\tfrac{3}{4}$: 160 · $\tfrac{3}{4} = 120$ litres.

A = 4 · 3,14 · $5^{2}$ = 4 · 3,14 · 25 = 100 · 3,14 = 314 cm².

És l'àrea total: A = 2 · (10 · 5 + 10 · 2 + 5 · 2) = 2 · (50 + 20 + 10) = 2 · 80 = 160 cm².

V = $\tfrac{(\pi \cdot r^{2} \cdot h)}{3}$ = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 9 \cdot 6)}{3}$. Primer el numerador: 3,14 · 9 = 28,26 i 28,26 · 6 = 169,56. Divideixo entre 3: $\tfrac{169{,}56}{3} = 56{,}52$ cm³.

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · 4 · 3 = 37,68 $\text{m}^{3}$. Com que cada $\text{m}^{3}$ són 1000 litres, multiplico 37,68 per 1000: hi caben 37680 litres.

a) Cada cara lateral és un triangle de base 10 i altura 13: (10 · 13)/2 = 65 cm². Hi ha 4 cares: A_lateral = 4 · 65 = 260 cm².
b) Àrea de la base: 10 · 10 = 100 cm². A_total = 260 + 100 = 360 cm².
c) L'altura, l'apotema i la meitat del costat de la base formen un triangle rectangle: h = √(13² - 5²) = √144 = 12 cm.
V = (100 · 12)/3 = 400 cm³.

a) V = π·$r^{2}$·h = 3,14 · $1{,}5^{2}$ · 4 = 3,14 · 2,25 · 4 = 28,26 $\text{m}^{3}$. Com que 1 $\text{m}^{3}$ = 1000 litres, hi caben 28260 litres.
b) Temps = 28260 : 20 = 1413 minuts.
1413 min = 23 h i 33 min (23 · 60 = 1380; 1413 - 1380 = 33).

De V = π·r²·h aïllem l'altura: h = V/(π·r²) = 301,44/(3,14 · 16) = 301,44/50,24 = 6 cm.
Àrea lateral: A = 2·π·r·h = 2 · 3,14 · 4 · 6 = 150,72 cm².
Comprovació: 3,14 · 16 · 6 = 301,44 cm³.

Passem a centímetres: 240 × 120 × 120.
Caixes al llarg: 240 : 20 = 12; a l'ample: 120 : 20 = 6; a l'alt: 120 : 20 = 6.
Total: 12 · 6 · 6 = 432 caixes.
Com que les mides són múltiples exactes de 20, l'ompliment és perfecte: les caixes ocupen el 100 % del volum.
Comprovació: 432 · $20^{3}$ = 432 · 8000 = 3456000 cm³ = 240 · 120 · 120.

Cilindre: V = π·r²·h = 3,14 · 9 · 6 = 169,56 cm³.
Con: V = (π·r²·h)/3 = 169,56/3 = 56,52 cm³.
Relació: 169,56 : 56,52 = 3, de manera que el volum del cilindre és el triple que el del con.
Això passa sempre quan comparteixen base i altura, perquè la fórmula del con duu el factor 1/3.

Cal pintar l'àrea total: A = 2·π·r·(h + r) = 2 · 3,14 · 2 · (5 + 2) = 12,56 · 7 = 87,92 $\text{m}^{2}$.
Pots: 87,92 : 10 = 8,792, i com que no es poden comprar fraccions de pot, cal arrodonir cap amunt: 9 pots.
Cost: 9 · 18 = 162 €.