Exercicis de Pitàgores, Tales i semblança — Matemàtiques 2n ESO

Sumo els quadrats dels catets: h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. L'arrel quadrada de 25 és 5, per tant h = 5 cm.

2/4 = 5/b'. Multiplico en creu: 2 · b' = 4 · 5 = 20, per tant b' = 10.

Multiplico pel valor de la raó: 5 · 2 = 10 cm.

Si fos rectangle, el costat més llarg seria la hipotenusa.
Catets: 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Hipotenusa: 10² = 100.
Com que coincideixen, el triangle és rectangle.

Dividim els costats corresponents: $\tfrac{9}{3} = 3$, $\tfrac{12}{4} = 3$ i $\tfrac{15}{5} = 3$.
Els quocients són iguals, per tant els triangles són semblants.
La raó de semblança del segon al primer és 3.

a) Cert: tenen els angles rectes iguals i els costats sempre en la mateixa proporció (tots els costats són iguals).
b) Fals: un rectangle de 2 × 4 i un altre de 2 × 6 tenen els angles iguals però $\tfrac{2}{2} = 1$ i $\tfrac{4}{6}$ ≠ 1, així que els costats no són proporcionals.

Si tracem una recta paral·lela a un dels costats d'un triangle, que talla els altres dos costats, es forma un triangle més petit semblant a l'original.
Els segments que determina són proporcionals: per exemple, AM/AB = AN/AC.

Multipliquem cada dimensió per la raó $\tfrac{1}{2}$.
10 · $\tfrac{1}{2} = 5$ cm i 15 · $\tfrac{1}{2} = 7{,}5$ cm.
La còpia fa 5 cm × 7,5 cm.

L'escala és la hipotenusa (5 m) d'un triangle rectangle; un catet és la distància a la paret (3 m).
$h^{2}$ = $5^{2}$ - $3^{2}$ = 25 - 9 = 16.
h = $\sqrt{16}$ = 4 m.

Pel teorema de Tales: AM/MB = AN/NC.
3/6 = 4/NC, per tant NC = 4 · 6 / 3 = 8 cm.

Com que busco un catet, resto: $a^{2}$ = $10^{2}$ - $6^{2}$ = 100 - 36 = 64. L'arrel quadrada de 64 és 8, per tant l'altre catet fa 8 cm.

És una situació de Tales. Munto altures a dalt i ombres a baix: 1/0,8 = altura/20. Multiplico en creu: altura = (1 · 20)/0,8 = 20/0,8 = 25 m.

Multiplico cada costat per 5: 2 · 5 = 10, 3 · 5 = 15 i 4 · 5 = 20. El triangle semblant té costats 10, 15 i 20 cm.

Multiplico per 50000: 8 · 50000 = 400000 cm. Passo a metres dividint per 100: 4000 m. Passo a km dividint per 1000: 4 km.

La diagonal és la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets 5 i 5.
$d^{2}$ = $5^{2}$ + $5^{2}$ = 50.
d = $\sqrt{50}$ ≈ 7,07 cm.

Altre catet: $c^{2}$ = $13^{2}$ - $5^{2}$ = 169 - 25 = 144, per tant c = 12 cm.
Àrea = $\tfrac{(catet \cdot catet)}{2}$ = $\tfrac{(5 \cdot 12)}{2} = 30$ cm².

L'alçada divideix la base en dues meitats de 5 cm i forma un triangle rectangle amb hipotenusa 13 cm.
$h^{2}$ = $13^{2}$ - $5^{2}$ = 169 - 25 = 144.
h = 12 cm.

Quan la raó de semblança és k, la raó entre les àrees és $k^{2}$.
$k^{2}$ = $3^{2}$ = 9.
Àrea del gran = 12 · 9 = 108 cm². Error típic: multiplicar per 3 en comptes de per 9.

Passem tot a les mateixes unitats: 12 m = 1200 cm.
Escala = 6 : 1200 = 1 : 200.
L'escala és 1:200.

El pal (9 m) i la distància cercada formen els catets, i el cable (15 m) és la hipotenusa.
$d^{2}$ = $15^{2}$ - $9^{2}$ = 225 - 81 = 144.
d = 12 m.

La raó de semblança és $\tfrac{10}{4} = 2{,}5$.
Altres costats: 6 · 2,5 = 15 cm i 8 · 2,5 = 20 cm.
Els costats són 10, 15 i 20 cm.

La diagonal parteix el rectangle en dos triangles rectangles amb catets 12 i 16. Aplico Pitàgores: d² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400. L'arrel quadrada de 400 és 20, per tant la diagonal fa 20 cm.

Proporció altura entre ombra: 3/2 = altura/10. Multiplico en creu: altura = (3 · 10)/2 = 30/2 = 15 m.

Ara vaig de la realitat al plànol, així que divideixo per l'escala. Primer passo 8 m a centímetres: 8 · 100 = 800 cm reals. Divideixo per 200: $\tfrac{800}{200} = 4$ cm. Al plànol la casa fa 4 cm.

Comprovem si es compleix a² + b² = c² amb c el costat més llarg.
a) 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²: és rectangle.
b) 7² + 8² = 49 + 64 = 113, però 11² = 121: no coincideixen, no és rectangle.

Siguin y l'alçada del trencament; la part trencada fa 18 - y i és la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets y i 12.
$y^{2}$ + $12^{2}$ = $(18 - y)^{2}$, és a dir, $y^{2}$ + 144 = 324 - 36y + $y^{2}$.
36y = 180, y = 5 m.
Comprovació: la part trencada fa 13 m i $5^{2}$ + $12^{2}$ = $13^{2}$.

Si baixem les alçades dels extrems de la base petita, a cada costat de la base gran sobra $\tfrac{(20 - 10)}{2} = 5$ cm.
Alçada: $h^{2}$ = $13^{2}$ - $5^{2}$ = 144, h = 12 cm.
Perímetre: 20 + 10 + 13 + 13 = 56 cm.
Àrea = $\tfrac{(20 + 10)}{2}$ · 12 = 180 cm².

a) 40 m = 4000 cm i 4000 : 500 = 8 cm; 25 m = 2500 cm i 2500 : 500 = 5 cm. Al plànol fa 8 cm × 5 cm.
b) Àrea al plànol = 8 · 5 = 40 cm².
c) Àrea real = 40 · 25 = 1000 $\text{m}^{2}$ = 10000000 cm². 10000000 : 40 = 250000 = $500^{2}$.
Les àrees es relacionen amb el quadrat de l'escala.

Pel teorema de Tales, els segments corresponents són proporcionals. Sobre la primera, el total és 4 + 6 = 10 cm.
La raó entre les dues transversals és $\tfrac{25}{10} = 2{,}5$.
Primer segment: 4 · 2,5 = 10 cm. Segon segment: 6 · 2,5 = 15 cm.
Comprovació: 10 + 15 = 25 cm.

a) Aresta real = 15 · 20 = 300 cm = 3 m.
b) Volum real = $3^{3}$ = 27 $\text{m}^{3}$ = 27000000 cm³. Volum de la maqueta = $15^{3}$ = 3375 cm³.
c) 27000000 : 3375 = 8000 = $20^{3}$: els volums es relacionen amb el cub de l'escala.